TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 1

Løsning Øving 13

Løsning oppgave 1

y_{3} = y_{1} + y_{2} = A cos(kx − ωt + φ_{1}) + A cos(kx − ωt + φ_{2})
=_{(K7) og (K9)} Re {Ae^{i(kx−ωt+φ_{1})} + Ae^{i(kx−ωt+φ_{2})}}

= Re \{Ae^{i(kx−ωt+(φ_{1}+φ_{2})/2)} \overbrace{(e^{i(φ_{1}−φ_{2})/2} + e^{−i(φ_{1}−φ_{2})/2})}^{=2 cos \frac{φ_{1}−φ_{2}}{2}}\}

(Merk at her er brukt tilsvarende triks som i lign. (4.64) i forelesningene.)

= Re \{2A cos \frac{φ_{1} − φ_{2}}{2} e^{i(kx−ωt+(φ_{1}+φ_{2})/2)}\}

=_{(K7)} 2A cos \frac{φ_{1} − φ_{2}}{2} cos(kx − ωt + (φ_{1} + φ_{2})/2)

= \underline{\underline{A_{3} cos(kx − ωt + φ_{3})}}  (1)

der vi har satt:

A_{3} = \underline{\underline{2A cos \frac{φ_{1} − φ_{2}}{2}}}  (2)
φ_{3} = \underline{\underline{\frac{φ_{1} + φ_{2}}{2}}}  (3)

b)

y_{3} = A_{1} cos(kx − ωt + φ_{1}) + A_{2} cos(kx − ωt + φ_{2})
= Re {(A_{1}e^{iφ_{1}} + A_{2}e^{iφ_{2}}) e^{i(kx−ωt)}}
= Re {A_{3}e^{iφ_{3}}e^{i(kx−ωt)}}
= \underline{\underline{A_{3} cos(kx − ωt + φ_{3})}}  (4)

der A_{3} og φ_{3} er gitt ved at:

A_{3}e^{iφ_{3}} ≡ A_{1}e^{iφ_{1}} + A_{2}e^{iφ_{2}}  (5)

som gir: For realdel:

A_{3} cos φ_{3} = A_{1} cos φ_{1} + A_{2} cos φ_{2}  (6)

TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 2

For imagniærdel:

A_{3} sin φ_{3} = A_{1} sin φ_{1} + A_{2} sin φ_{2}  (7)

(7) dividert med (6):

tan φ_{3} = \frac{A_{1} sin φ_{1} + A_{2} sin φ_{2}}{A_{1} cos φ_{1} + A_{2} cos φ_{2}}  (8)

og

φ_{3} = \underline{\underline{arctan \frac{A_{1} sin φ_{1} + A_{2} sin φ_{2}}{A_{1} cos φ_{1} + A_{2} cos φ_{2}}}}  (9)

A_{3} finnes f.eks. ved A_{3} = (A_{3}^{2})^{1/2} og

A_{3}^{2} = A_{3}e^{iφ_{3}} · A_{3}e^{−iφ_{3}}

=_{(5)} (A_{1}e^{iφ_{1}} + A_{2}e^{iφ_{2}}) · (A_{1}e^{−iφ_{1}} + A_{2}e^{−iφ_{2}})

= A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + A_{1}A_{2}e^{i(φ_{1}−φ_{2})} + A_{1}A_{2}e^{−i(φ_{1}−φ_{2})}

= \underline{\underline{A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2A_{1}A_{2} cos(φ_{1} − φ_{2})}}  (10)

c) På helt tilsvarende vis som i pkt. b:

y_{N} = ∑_{i} A_{i} cos(kx − ωt + φ_{i})

= Re {(∑_{i} A_{i}e^{iφ_{i}}) · e^{i(kx−ωt)}}

= Re {A_{N}e^{iφ_{N}} e^{i(kx−ωt)}}

= \underline{\underline{A_{N} cos(kx − ωt + φ_{N})}}  (11)

der A_{N} og φ_{3} er gitt ved at:

A_{N}e^{iφ_{N}} ≡ ∑_{i} A_{i}e^{iφ_{i}}  (12)

som helt tilsvarende som i pkt. b gir:

φ_{3} = \underline{\underline{arctan (\frac{∑_{i} A_{i} sin φ_{i}}{∑_{i} A_{i} cos φ_{i}} )}}  (13)

og

A_{N}^{2} = (∑_{i=1}^{N} A_{i}e^{iφ_{i}}) · (∑_{j=1}^{N} A_{j}e^{−iφ_{j}} ) = \underline{\underline{∑_{i=1}^{N} ∑_{j=1}^{N} A_{i}A_{j}e^{i(φ_{i}−φ_{j})}}}  (14)

TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 3

Løsning oppgave 2 Vi har fra lign. (4.16), (4.17), (4.18) og (4.13) i forelesningene:

E_{θ} = E_{1} + E_{2} = E_{0}[cos(kr − ωt − φ′) + cos(k(r + Δr) − ωt − φ′)]

= Re {E_{0} [e^{i(kr−ωt−φ′)} + e^{i(k(r+Δr)−ωt−φ′)}]}

= Re \{E_{0}e^{i(kr−ωt−φ′+kΔr/2)} · \underbrace{(e^{−ikΔr/2} + e^{ikΔr/2})}_{=2 cos(\frac{kΔr}{2})} \}

= Re \{2E_{0} cos (\frac{kΔr}{2} ) e^{i(kr−ωt−φ′+kΔr/2)}\}

= 2E_{0} cos (\frac{kΔr}{2} ) cos(kr − ωt − φ′ + kΔr/2)

= \underline{\underline{E_{θ_{0}} cos(kr − ωt − φ′ + \frac{kΔr}{2} )}}

som er det samme som lign. (4.21) og (4.22) i forelsning. Løsning oppgave 3

Δt_{jord} = \frac{4.80 · 10^{6} m}{300 m/s} = 1.60 · 10^{4} s

Δt_{fly} er egentiden mellom de to passeringene. Altså må vi ifølge lign. (5.15) i forelesningsnotatene ha:

Δt_{jord} = \frac{Δt_{fly}}{\sqrt{1 − u^{2}/c^{2}}}  (15)

der u = 300 m/s og c = lyshastigheten. Altså:

Δt_{fly} = Δt_{jord}\sqrt{1 − u^{2}/c^{2}} ≈ Δt_{jord} (1 − \frac{1}{2} \frac{u^{2}}{c^{2}} )  (16)

Dermed er relativ tidsdifferanse

\frac{Δt_{jord} − Δt_{fly}}{Δt_{jord}} = \frac{1}{2} \frac{u^{2}}{c^{2}} = \underline{5.0 · 10^{−13}}

og absolutt:

Δt_{jord} − Δt_{fly} = 5.0 · 10^{−13} · 1.60 · 10^{4} s = \underline{\underline{8.0 · 10^{−9} s}} ≈ \underline{\underline{8.0 ns}}

TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 4

\underline{Merknad:} Det har vært gjort forsøk med å sende nøyaktig klokke med et Boeing 747 fly og denne effekten (dvs. lign. (5.15)) har altså blitt verifisert for hastigheter u ≪ c. (Moderne klokker kan måle tid med presisjon 10^{−11} % = \frac{1}{10^{13}} i dag.)

Løsning oppgave 4

a) Levetid ifølge observatør på jorda iflg. lign. (5.15) i forelesningsnotatene:

Δt = \frac{Δt_{0}}{\sqrt{1 − u^{2}/c^{2}}} = \frac{2.20 · 10^{−6} s}{\sqrt{1 − 0.990^{2}}} = \underline{\underline{15.6 · 10^{−6} s}}  (17)

b) Lengde Δs_{j} tilbakelagt ifølge observatør på jorda:

Δs_{j} = 0.990c · 15.6 · 10^{−6} s = \underline{\underline{4630 m}}

Lengde målt på jorda fra jorda er egenlengden. Vi har da for lengden Δs_{m} målt fra muonets hvilesystem ved hjelp av lign. (5.25) i forelesningsnotatene:

Δs_{m} = Δs_{j}\sqrt{1 − u^{2}/v^{2}} = 4630 m\sqrt{1 − 0.990^{2}} = \underline{\underline{653 m}}

c) En observatør på jorda vil si at muonet eksisterte Δt = γΔt_{0} og forflyttet seg:

Δs_{j} = u · Δt = 0.990c · 15.6 · 10^{−6} s = 4630 m

En observatør i hvilesystemet til muonet vil si at muonet eksisterte Δt_{0} og at jordas koordinatsystem bevegde seg (parallelt muonets sti (sett fra jorda), men i motsatt retning) på Δt_{0}:

Δs_{m} = uΔt_{0} = 0.990c · 2.20 · 10^{−6} s = 653 m

Verdiene for Δs_{j} og Δs_{m} er her i pkt. c) kun basert på at Δt og Δt_{0} er forskjellige på grunn av tidsdilatasjon. I pkt. b) fikk vi samme resultat for Δs_{m} (ut fra Δs_{j}) kun basert på lengdekontraksjon.

Løsning oppgave 5

Vi kaller lengden muonet tilbakelegger i jordas referansesystem S, hastigheten (i jordas referansesystem) u_{min} og tida det eksisterer målt fra jorda Δt og egentiden det eksisterer Δt_{0}. Vi har da:

S = u_{min} · Δt = u_{min} \frac{Δt_{0}}{\sqrt{1 − (u_{min}/c)^{2}}}  (18)

som gir

(1 − \frac{u_{min}^{2}}{c^{2}} ) · S^{2} = (u_{min} · Δt_{0})^{2}

og

u_{min} = ( \frac{S^{2}}{\frac{S^{2}}{c^{2}} + (Δt_{0})^{2}} )^{1/2} = c\frac{1}{(1 + (\frac{Δt_{0}c}{S})^{2})^{1/2}}

≈ c (1 − \frac{1}{2} (\frac{Δt_{0}c}{S})^{2})

= c (1 − \frac{1}{2} (\frac{2.20 · 10^{−6} · 2.997925 · 10^{8}}{1.00 · 10^{4}} )^{2})
≈ \underline{\underline{0.997825 c ≈ 2.9914 · 10^{8} m/s}}  (19)

Vi kaller nå lengden fra jordas overflate til dannelsespunktet for muonet i jordas referansesystem for L_{0}. Tilsvarende lengde i muonets referansesystem kalles L. Vi har da:

L = L_{0} (1 − (u_{min}/c)^{2})^{1/2}
= 1.00 · 10^{4} m (1 − (0.997825)^{2})^{1/2}
≈ \underline{\underline{6.59 · 10^{2} m}}  (20)

Løsning oppgave 6

Romskipet A har under hele tankeeksperimentet jevn og rettlinjet hastighet. Vi velger derfor å betrakte hele tankeeksperimentet i det inertialsystemet der A er i ro (under hele eksperimentet) og kaller i fortsettelsen dette for A’s referansesystem. I dette referansesystemet er trådens hastighet fra begynnelse til slutt endret fra null til v = 6.00 · 10^{6} m/s. Målt fra A’s referansesystem vil lengden av tråden (dersom den ikke strekkes eller går av) derfor være endret fra L_{0} ved begynnelsestilstanden til L ved slutt-tilstanden, med følgende sammenheng mellom L_{0} og L:

L = L_{0}/γ  (21)

der

γ = \frac{1}{(1 − v^{2}/c^{2})^{1/2}}  (22)

(Se lign. (65) og (67) i formelsamlingen vedlagt eksamensoppgaven). Differansen mellom opprinnelig lengde L_{0} av tråden og lengden målt i slutt-tilstanden fra A’s referansesystem (dersom tråden ikke brister eller forlenges) kaller vi ΔL. Da har vi:

ΔL = L_{0} − L =_{(21)} Lγ − L = L(γ − 1)  (23)

som gir for ΔL/L:

\frac{ΔL}{L} = (γ − 1) = \frac{1}{(1 − v^{2}/c^{2})^{1/2}} − 1 = \frac{1}{1 − \frac{1}{2} \frac{v^{2}}{c^{2}}} − 1 ≈ 1 + \frac{1}{2} \frac{v^{2}}{c^{2}} − 1

= \frac{1}{2} \frac{v^{2}}{c^{2}} = \frac{1}{2} (\frac{6.0 · 10^{6}}{3.00 · 10^{8}} )^{2} = \underline{2.0 · 10^{−4}}  (24)

Sentrene til romskipene B og C har i A’s referansesystem hele tiden hatt samme akselerasjon og dermed hastighet. Avstanden mellom dem har dermed også alltid vært den samme og er det også etter akselerasjonprogrammet er avsluttet. For at tråden ikke skal briste, må den derfor tåle forlengelsen ΔL gitt ovenfor ved ligning (23). ΔL og L er begge sett fra A’s referansesystem og tråden tåler observert fra hans (og alle andres inertiale) referansesystem kun en relativ forlengelse på 1.00· 10^{−4}. Den relative forlengelsen tråden må tåle for ikke å briste under akselerasjonprosessen er altså gitt ved ligning (24) og lik 2.0 · 10^{−4}. Det er to ganger den forlengelsen den er oppgitt å skulle tåle. Altså har tråden gått av under akselerasjonsprosessen.

\underline{Merknad:} Denne oppgaven ble gitt for å teste forståelsen av følgende fundamentale aspekt:

1) Avstanden mellom to punkt (her festepunktene til tråden) observert fra ett gitt inertialt referansesystem vil ikke endres når begge punktene hele tiden har samme hastighet observert i dette referansesystemet. Det er ingen forskjell på klassisk mekanikk og spesiell relativitetsteori når det gjeldet dette fordi posisjonen til og avstanden mellom de to punktene \underline{hele tiden} kan måles (dvs. kan merkes av på et fysisk legeme i ro) i dette referansesystemet.

2) Et \underline{fysisk legeme} (her tråden) som har en hastighet i forhold til et referansesystem vil i dette referansesystemet observeres med mindre lengde enn den lengden som observeres i det referansesystemet der legemet er i ro. Dette er et av de fundamentale aspekt der spesiell relativitetsteori (og virkeligheten) gir et annet resultat enn klassisk mekanisk teori.

Løsning oppgave 7

Vi har fra lign. (5.49) i forelesningene:

E_{k} = ∫_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{ma}{(1 − v_{x}^{2}/c^{2})^{3/2}} dx  (25)

der x_{1} og x_{2} er punkter der partikkelen har henholdsvis hastighet 0 og v_{1}. (Vi har i (25) erstattet v med v_{x}.)

TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 7

Vi nytter så

a dx = \frac{dv_{x}}{dt} dx = \frac{dx}{dt}dv_{x} = v_{x} dv_{x}  (26)

som innsatt i (25) gir:

E_{k} = ∫_{0}^{v} \frac{mv_{x}}{(1 − v_{x}^{2}/c^{2})^{3/2}} dv_{x}.  (27)

Vi substituerer:

y = 1 − v_{x}^{2}/c^{2}  (28)

som gir:

dy = −\frac{2v_{x}}{c^{2}} dv_{x}  (29)

og innsatt i (27):

E_{k} = − ∫_{1}^{1−v^{2}/c^{2}} \frac{mc^{2}}{2} y^{−3/2}dy = \frac{mc^{2}}{2} ∫_{1−v^{2}/c^{2}}^{1} y^{−3/2}dy = \frac{mc^{2}}{2} [−2y^{−1/2}]_{1−v^{2}/c^{2}}^{1}
= mc^{2} ((1 − v^{2}/c^{2})^{−1/2} − 1) = \underline{\underline{\frac{mc^{2}}{\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}} − mc^{2}}}  (30)

som er lign. (5.48) i forelesningene. q.e.d.