TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 1

Løsning Øving 7

Vi har fra lign. (1.104) i forelesningene:

f_{m} = \frac{1 − v_{m}/c}{1 − v_{s}/c}f_{s}  (1)

der f_{m} og f_{s} er respektivt målt og utsendt frekvens. v_{m} og v_{s} er henholdsvis hastighet til observatør og kilde regnet algebraisk.

Løsning oppgave 1

f_{hørt av 1} = \frac{1 + v_{1}/c}{1 − v_{2}/c}f_{s} = \frac{1 + \frac{60.0}{3.6}/331}{1 − \frac{90.0}{3.6}/331} · 524 Hz = \underline{\underline{595 Hz}}
f_{hørt av 2} = \frac{1 + v_{2}/c}{1 − v_{1}/c}f_{s} = \frac{1 + \frac{90.0}{3.6}/331}{1 − \frac{60.0}{3.6}/331} · 524 Hz = \underline{\underline{593 Hz}}

Løsning oppgave 2

Lyden reflekteres med samme hastighet og frekvens som innkommende bølge. Altså har vi:

f_{ekko} = \frac{1 + \frac{75}{3.6}/331}{1 − \frac{75}{3.6}/331} · 420 Hz = \underline{\underline{476 Hz}}

Løsning oppgave 3

Hastigheten til toget i forhold til mediet (luften) er:

v_{s} = (30 − 20) m/s = \underline{10 m/s}.

Hastigheten til perrongen i forhold til luften er:

v_{m} = (0 − 20) m/s = \underline{−20 m/s}.

Altså har vi:

f_{perrong} = \frac{1 + 20/331}{1 − 10/331} · 440 Hz = \underline{\underline{481 Hz}}

Løsning oppgave 4

h α ct  v_{s}t  α

Ved figurbetrakning:

sin α = \frac{ct}{v_{s}t} = \frac{c}{v_{s}}
cos α = \frac{ct}{h}

som gir

(\frac{c}{v_{s}} )^{2} + (\frac{ct}{h})^{2} = 1  (2)

v_{s}/c = (\frac{1}{1 − (\frac{ct}{h})^{2}} )^{1/2} = (\frac{1}{1 − (\frac{331·30.4}{12000})^{2}} )^{1/2} = 1.835  (3)

som gir:

v_{s} = 331 · 1.835 m/s = 607 m/s = \underline{\underline{2190 km/t}}

sin α = \frac{c}{v_{s}} = \frac{331}{607} = 0.545
α = \underline{\underline{33.0^{∘}}}

Løsning oppgave 5

Vi nytter A&F fig. 29.5 som er vist på neste side. Imidlertid kaller vi x-posisjonen til PQ for x_{0} og til SR for x_{0} + Δx. Tilsvarende kaller vi posisjonene til QR og PS i henholdsvis xy-planet og xz-planet for y_{0} og y_{0} + Δy og for z_{0} og z_{0} + Δz. Vi nytter først A&F lign. (27.2) på rektangelet PQRS i xy-planet.

∮_{L} E⃗ · dL⃗ = −\frac{∂}{∂t} ∫_{A} B⃗ · dS⃗  (4)

[figure: O; X; Y; Z; Magnetisk; felt; Elektrisk; felt; P; Q; R; S; dx; dy; ε; ε′; O; X; Y; Z; Magnetisk; felt; Elektrisk; felt; P; Q; R; S; dx; dz; B′; B]

Figur 1: Anvendelse av Maxwells ligninger på rektangelet P QRS gir bølgefunksjonen for det elektromagnetiske felt. Bølgen propagerer i positiv x-retning.

der L omringer arelaet A. Vi integrerer i pilenes retning og får da:

∮_{PQRS} E⃗ · dL⃗ = −E(x, t) · Δy + 0 + E(x + Δx, t) · Δy + 0
= [E(x + Δx, t) − E(x, t)] · Δy  (5)

siden E⃗ ⊥ QR og PS. Når vi lar Δx → 0 og Δy → 0 får vi:

lim_{\begin{matrix}Δx→0 \\ Δy→0 \end{matrix}} ∮_{PQRS} E⃗ · dL⃗ = lim_{\begin{matrix}Δx→0 \\ Δy→0 \end{matrix}} \frac{[E(x + Δx, t) − E(x, t)]}{Δx}ΔxΔy = \frac{∂E(x, t)}{∂x}dxdy (6)

lim_{\begin{matrix}Δx→0 \\ Δy→0 \end{matrix}} ∫_{A=PQRS} B⃗ · dS⃗ = B(x, t) dxdy  (7)

siden B⃗ ⊥ A⃗ der A⃗ er gitt på figuren nedenfor.

(7) og (6) i (4) gir:

\frac{∂E(x, t)}{∂x}dxdy = −\frac{∂}{∂t}[B(x, t)dxdy] = −\frac{∂B(x, t)}{∂t}dxdy

og

\frac{∂E(x, t)}{∂x} = −\frac{∂B(x, t)}{∂t}  (8)

Q P A⃗ R S

Vi nytter så A&F lign. (27.14) (med strømmen lik 0 siden vi har vakuum) på rektangelet PQRS i xz-planet.

∮_{L} B⃗ · dL⃗ = μ_{0}ε_{0} \frac{∂}{∂t} ∫_{A} E⃗ · dS⃗  (9)

∮_{PQRS} B⃗ · dL⃗ = B(x, t)Δz + 0 − B(x + Δx, t)Δz + 0
= −[B(x + Δx, t) − B(x, t)]Δz  (10)

siden B⃗ ⊥ QR og PS. Når vi lar Δx → 0 og Δz → 0:

lim_{\begin{matrix}Δx→0 \\ Δz→0 \end{matrix}} ∮_{PQRS} B⃗ · dL⃗ = lim_{\begin{matrix}Δx→0 \\ Δz→0 \end{matrix}} −\frac{[B(x + Δx, t) − B(x, t)]}{Δx}ΔxΔz = −\frac{∂B(x, t)}{∂x}dxdz

(11)

lim_{\begin{matrix}Δx→0 \\ Δz→0 \end{matrix}} ∫_{PQRS} E⃗ · dS⃗ = E(x, t)dxdz  (12)

(11) og (12) i (9) gir:

−\frac{∂B(x, t)}{∂x}dxdz = μ_{0}ε_{0} \frac{∂}{∂t}[E(x, t)dxdz] = μ_{0}ε_{0} \frac{∂E(x, t)}{∂t}dxdz

og

−\frac{∂B(x, t)}{∂x} = μ_{0}ε_{0} \frac{∂E(x, t)}{∂t}  (13)

Merk at lign. (8) og (13) kopler elektrisk og magnetisk felt. Lign. (8) gir at dersom B varierer i tid, så må E variere i x-retning. Lign. (13) gir at dersom E varierer i tid, så må B variere i x-retning.

TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 5

For å finne bølgeligningen for E partiellderiverer vi (8) m.h.p. x og (13) m.h.p. t:

\frac{∂^{2}E(x, t)}{∂x^{2}} = −\frac{∂^{2}B(x, t)}{∂x∂t}  (14)
−\frac{∂^{2}B(x, t)}{∂x∂t} = μ_{0}ε_{0} \frac{∂^{2}E(x, t)}{∂t^{2}}  (15)

Sammenligning av (14) og (15) gir:

\underline{\underline{\frac{∂^{2}E(x, t)}{∂x^{2}}}} = μ_{0}ε_{0} \frac{∂^{2}E(x, t)}{∂t^{2}} = \underline{\underline{\frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}E(x, t)}{∂t^{2}}}} q.e.d.  (16)

For å finne bølgeligningen for B partiellderiverer vi (8) m.h.p. t og (13) m.h.p. x:

\frac{∂^{2}E(E, t)}{∂t∂x} = −\frac{∂^{2}B(x, t)}{∂t^{2}}  (17)
−\frac{∂^{2}B(x, t)}{∂x^{2}} = μ_{0}ε_{0} \frac{∂^{2}E(x, t)}{∂t∂x}  (18)

Sammenligning av (17) og (18) gir:

\underline{\underline{\frac{∂^{2}B(x, t)}{∂x^{2}}}} = μ_{0}ε_{0} \frac{∂^{2}B(x, t)}{∂t^{2}} = \underline{\underline{\frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}B(x, t)}{∂t^{2}}}} q.e.d.  (19)