TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 1

Løsning Øving 9

Løsning oppgave 1 Vi kaller feltamplituden til det lineærpolariserte lyset som slipper gjennom den første polarisatoren, E_{0}. Vinkelen mellom polarisasjonsretningen til første og midterste polarisator kalles α, og den mellom midterste og siste blir da π/2 − α. Feltamplituden gjennom første og midterste polarisator blir da:

E_{0} cos α

og feltamplituden gjennom alle 3:

E_{03} = E_{0} cos α cos(π/2 − α) = E_{0} cos α sin α  (1)

For å finne maksimum, deriverer vi E_{03} med hensyn på α og setter lik 0:

\frac{∂E_{03}}{∂α} = E_{0}(− sin^{2} α + cos^{2} α) = 0

⇒ cos^{2} α = sin^{2} α
⇒ tan^{2} α = 1
⇒ \underline{\underline{α = 45^{∘}}}

Løsning oppgave 2 For denne oppgaven viser vi til muntlig kommentar på forelesning Løsning oppgave 3 Vi har fra lign. (3.28) i forelesningene:

tan θ_{iB} = 1.33

som gir:

θ_{iB} = 53.1^{∘}

Vinkelen sola står over horisontalplanet er da:

90^{∘} − 53.1^{∘} = \underline{\underline{36.9^{∘}}}

I følge det vi har lært i forelesningene pkt. 3.5, er reflekert lys her \underline{\underline{horisontalt}} polarisert.

[figure: h; x; L − x; A; B; P; θ_{i}; θ_{r}; Lyshastighet c]

Løsning oppgave 4

a) Vi lar A og B være faste punkter og P bevegelig på refleksjonsflaten. Tiden t lyset bruker fra A til B er gitt ved:

t = \frac{1}{c} [(h^{2} + x^{2})^{1/2} + (h^{2} + (L − x)^{2})^{1/2}]  (2)

Minimalverdi for t er gitt ved:

\frac{dt}{dx} = \frac{1}{c} [(h^{2} + x^{2})^{−1/2} · x − (h^{2} + (L − x)^{2})^{−1/2} · (L − x)] = 0

som gir

\frac{x}{(h^{2} + x^{2})^{1/2}} = \frac{L − x}{[h^{2} + (L − x)^{2}]^{1/2}}  (3)

Ved figurbetraktning:

sin θ_{i} = \frac{x}{[h^{2} + x^{2}]^{1/2}}  (4)

og:

sin θ_{r} = \frac{L − x}{[h^{2} + (L − x)^{2}]^{1/2}}  (5)

som gir innsatt i (3) gir:

sin θ_{i} = sin θ_{r} eller \underline{\underline{θ_{i} = θ_{r}}} q.e.d.  (6)

b)

[figure: h; h′; x; L − x; A; B; θ_{1}; θ_{2}; n_{1}, v_{1} (lyshastighet); n_{2}, v_{2} (lyshastighet)]

Tiden t lyset bruker fra A til B er her gitt ved:

t = \frac{1}{v_{1}} (h^{2} + x^{2})^{1/2} + \frac{1}{v_{2}} [h^{′2} + (L − x)^{2}]^{1/2}

Minimalverdi for t er gitt ved:

\frac{dt}{dx} = \frac{1}{v_{1}} \underbrace{(h^{2} + x^{2})^{−1/2} · x}_{=sin θ_{1}} −\frac{1}{v_{2}} \underbrace{[h^{′2} + (L − x)^{2}]^{−1/2} · (L − x)}_{=sin θ_{2}} = 0  (7)

som gir:

\underline{\underline{\frac{sin θ_{1}}{sin θ_{2}} = \frac{v_{1}}{v_{2}} =^{(Oppgitt)} \frac{n_{2}}{n_{1}}}}  q.e.d  (8)

Løsning oppgave 5

a) Langs x-aksen er y = 0, og maksima fås når delbølgene er i fase, dvs:

−kx_{n} + n · 2π = −k cos θ x_{n}

⇒ x_{n} = \frac{n · 2π}{k(1 − cos θ)} = \underline{\underline{\frac{nλ}{1 − cos θ}}} = n · 1.323 · 10^{−6} m n = 0, ±1, ±2, …

b)

−kx + n · 2π = −k cos θ x − k sin θ y ⇒ y = \frac{1 − cos θ}{sin θ} x − \frac{n · 2π}{k sin θ}

y = \underline{\underline{\frac{1 − cos θ}{sin θ} x − \frac{nλ}{sin θ}}} = 0.502x − n · 6.64 · 10^{−7} m n = 0, ±1, ±2, …

[figure: 0; x_{1}; 2x_{1}; 3x_{1}; 4x_{1}; x; y]