Side 1 av 15

NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK

Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33

EKSAMEN FY1002 og TFY4160 BØLGEFYSIKK Onsdag 20. desember 2006 kl. 0900 - 1300 Norsk utgave

Hjelpemiddel: C

• K. Rottmann: Matematisk formelsamling (alle språk).

• O. Øgrim og B. E. Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk, eller C. Angell og B. E. Lian: Fysiske størrelser og enheter.

• Typegodkjend kalkulator, med tomt minne, i henhold til liste utarbeidd av NTNU. (HP30S eller liknende.)

Vedlegg A: Oppgavene (Side 2 - 6). Vedlegg B: Formelsamling (Side 7 - 15).

Prøva består av 4 oppgaver. Det er angitt hvor mye de ulike oppgavene i utgangspunktet vil telle under vurderinga. Vektorstørrelser angis med feite typer. Enhetsvektorer angis med hatt over symbolet.

Sensuren kommer når den er klar, seinest 12. januar.

Side 2 av 15

Vedlegg A: Oppgavene

OPPGAVE 1 [1a, 1b og 1c teller 10% hver]

a) En gitarstreng med lengde L = 65 cm er festet i begge ender (dvs knutepunkter der). Grunntonen (dvs laveste resonansfrekvens) og overtonene genereres av stående transversale bølger på strengen. Den skal stemmes slik at grunntonen er en (høy) E med frekvens ν_{1} = 330 Hz. Strengen har sirkulært tverrsnitt med radius R = 0.35 mm og er laget av nylon, med massetetthet ρ = 1200 kg/m^{3}.

• Bestem grunntonens bølgelengde λ_{1} og bølgehastighet v_{1}. Med hvor stor strekk-kraft S må strengen strammes?

• Bestem bølgelengden, frekvensen og bølgehastigheten til 1. overtone (dvs nest laveste resonansfrekvens).

• Lyden fra gitaren forplanter seg i lufta omkring med hastighet 340 m/s. Hvilken frekvens vil grunntonen ha i dine ører dersom du beveger deg bort fra gitaren med hastighet 34 m/s?

b) En tynn membran (f.eks. papir) er plassert i xy-planet. Et laseroptisk instrument kan måle transversalt utsving på membranen, for −d < x < d når y = 0 og for −d < y < d når x = 0:

Membranen har stor utstrekning, både i x- og y-retning, i forhold til d. En plan harmonisk transversal bølge (z = utsvinget, r = x x̂ + y ŷ),

z(r, t) = z_{0} sin (k · r − ωt) ,

forplanter seg i membranen, med retning fra område A mot område B (dvs mot høyre og oppover i figuren). Ved tidspunktet t = 0 viser instrumentet følgende utsving:

• Anta at d = 10 cm. Bestem bølgens bølgelengde λ.

• Bestem bølgens forplantningsretning. Angi denne ved vinkelen θ mellom forplantningsretningen og x-aksen.

• Med et annet instrument er bølgens frekvens målt til ν = 100 Hz. Hva blir bølgens hastighet v = v_{x} x̂ + v_{y} ŷ? (Bestem både v, v_{x} og v_{y}.)

c) Longitudinale bølger som forplanter seg i en kubisk krystall kan med god tilnærmelse beskrives ved dispersjonsrelasjonen

ω(k) = ω_{0} sin (\frac{kd}{2}) (k ≥ 0)

Her er ω_{0} ≡ \sqrt{4s/m}, m er massen til hvert enkelt atom i krystallen og s er ”fjærkonstanten” som beskriver kreftene som virker mellom atomene. Avstanden mellom to ”nærmeste nabo” atomer er d.

• Bestem fasehastigheten v(k) og gruppehastigheten v_{g}(k) for slike longitudinale bølger.

• Skisser v(k) og v_{g}(k) for bølgetall k mellom 0 og π/d. Verdier for v(0), v_{g}(0), v(π/d) og v_{g}(π/d) skal gå klart fram (i tekst eller figur).

OPPGAVE 2 [Teller 30%]

• Beskriv hvordan (den primære) regnbuen dannes med utgangspunkt i figurene over.

• Finn vinkelen α uttrykt ved θ og n (n er vannets brytningsindeks; luftas brytningsindeks settes lik 1).

• Figuren viser refleksjonskoeffisienter (refleksjonssannsynligheter) når synlig lys reflekteres ved en vann/luft grenseflate. ϕ er vinkelen mellom innfallsloddet (dvs normalen til grenseflaten) og forplantningsretningen til innkommende bølge. Kurven merket Rp gjelder for lys som er polarisert slik at E ligger i innfallsplanet mens kurven merket Rn gjelder for lys som er polarisert slik at E står normalt på innfallsplanet. (Innfallsplanet dannes av innkommende, reflektert og brutt stråle, samt innfallsloddet.) Anta at lyset fra sola (I) som treffer vanndråpene er upolarisert. Hvordan forventer du da at lyset fra regnbuen (R) fortrinnsvis vil være polarisert? Tegn en figur der du viser retningen på E i ulike posisjoner på regnbuen, f.eks. øverst og nede ved horisonten.

OPPGAVE 3 [3a og 3b teller 10% hver]

a) Fermats prinsipp sier at en lysstråle velger den veien mellom to punkter A og B som tar kortest tid. Bruk dette prinsippet til å utlede refleksjonsloven, θ_{i} = θ_{r}, og Snells brytningslov, n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2}. Ta utgangspunkt i figuren nedenfor, der vi betrakter lysstråler som går fra posisjon A til posisjon B via en posisjon O i grenseflaten mellom de to mediene.

b) Koherent lys fra to lasere, med bølgelengder henholdsvis λ_{1} = 500 nm og λ_{2} = 700 nm, kommer normalt inn mot en skjerm med to svært smale åpninger (spalter) med innbyrdes avstand d = 0.035 mm. Interferensmønsteret observeres på en skjerm i avstand L = 3.0 m fra de to spaltene.

I hvilken posisjon y (i forhold til ”rett fram”, y(θ = 0) = 0) finner vi første felles intensitetsmaksimum for lyset fra de to laserne?

OPPGAVE 4 [Teller 20%]

Siv og Arne kjører i hvert sitt romskip. Begge romskipene har hastighet v = v x̂ i forhold til Sam. Sam befinner seg altså i et annet inertialsystem (S) enn Siv og Arne (\overline{S}). Målt i \overline{S} er avstanden mellom Siv og Arne lik \overline{L}, og Arne befinner seg litt ”foran” og litt ”over” Siv slik at forbindelseslinjen mellom de to danner vinkelen \overline{α} med \overline{x}-aksen:

”Foran” og ”over” innebærer altså at Arnes koordinater \overline{x} og \overline{y} begge er større enn de tilsvarende koordinatene til Siv.

• Hvor stor avstand L måler Sam at det er mellom Siv og Arne?

• Hvilken vinkel α måler Sam mellom x-aksen og forbindelseslinjen fra Siv til Arne?

Siv sender en lyspuls mot Arne. Målt i \overline{S} må denne lyspulsen åpenbart sendes ut i en vinkel \overline{α} i forhold til \overline{x}-aksen dersom den skal nå fram til Arne.

• I hvilken retning, angitt ved en vinkel β i forhold til x-aksen, måler Sam at lyspulsen sendes? (Tips: Vinklene β og α er ikke like store.)

Vi antar nå at Arne er like langt foran som over Siv, målt i \overline{S}, slik at \overline{α} = 45^{∘}. Vi antar dessuten at \overline{L} = 3000 m og v = 0.8c, og vi setter lyshastigheten lik 3 · 10^{8} m/s.

• Hvor lang tid tar det, på Sams klokke, fra Siv sender ut lyspulsen til den mottas av Arne?

Side 7 av 15

Vedlegg B: Formelsamling

Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent.

• Harmonisk plan bølge:

ξ(x, t) = ξ_{0} sin(kx − ωt + ϕ)
ξ(r, t) = ξ_{0} sin(k · r − ωt + ϕ)

• Bølgeligning:

\frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂t^{2}}

∇^{2}ξ(r, t) (≡ \frac{∂^{2}ξ}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}ξ}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}ξ}{∂z^{2}} ) = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}ξ(r, t)}{∂t^{2}}

• Fasehastighet:

v = \frac{ω}{k}

• Gruppehastighet:

v_{g} = \frac{dω}{dk}

• Generelt for ikkedispersive udempede bølger: v = \sqrt{\frac{elastisk modul}{massetetthet}}

• Generelt for lineær respons i elastiske medier: mekanisk spenning = elastisk modul × relativ tøyning

• For transversale bølger på streng:

v = \sqrt{\frac{S}{μ}}

• For longitudinale bølger i fluider:

v = \sqrt{\frac{B}{ρ}}

• For longitudinale bølger i faste stoffer:

v = \sqrt{\frac{Y}{ρ}}

Side 8 av 15

• Middelverdi av harmonisk varierende størrelse A(x, t), midlet over bølgelengde λ:

\overline{A} = \frac{∫_{0}^{λ} A(x, t) dx}{∫_{0}^{λ} dx} = \frac{1}{λ} ∫_{0}^{λ} A(x, t) dx

Middelverdi av harmonisk varierende størrelse A(x, t), midlet over periode T:

⟨A⟩ = \frac{∫_{0}^{T} A(x, t) dt}{∫_{0}^{T} dt} = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} A(x, t) dt

• Midlere energi pr lengdeenhet for harmonisk bølge på streng:

\overline{ε} = \frac{1}{2}μω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere energi pr volumenhet for harmonisk plan bølge:

\overline{ε} = \frac{1}{2}ρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere effekt transportert med harmonisk bølge på streng:

\overline{P} = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vμω^{2}ξ_{0}^{2}

• Intensitet i harmonisk plan bølge:

I = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere impulstetthet for harmonisk bølge:

\overline{π} = \frac{\overline{ε}}{v}

• Ideell gass:

pV = Nk_{B}T

• Varmekapasitet ved konstant trykk (Q = varme):

C_{p} = (\frac{dQ}{dT})_{p}

• Varmekapasitet ved konstant volum (Q = varme):

C_{V} = (\frac{dQ}{dT})_{V}

• Adiabatiske forhold (dvs ingen varmeutveksling): pV^{γ} = konstant

• Adiabatkonstanten:

γ = \frac{C_{p}}{C_{V}}

Gass med 1-atomige molekyler: γ = 5/3. Gass med 2-atomige molekyler: γ = 7/5.

• Bulkmodul for ideell gass ved adiabatiske forhold: B = γp

• Lydhastighet i gass (m = molekylmassen):

v = \sqrt{\frac{γp}{ρ}} = \sqrt{\frac{γk_{B}T}{m}}

• Lydtrykk:

Δp = −B \frac{∂ξ}{∂x}

• Lydnivå:

β(dB) = 10 log \frac{I}{I_{0}}

med I_{0} = 10^{−12} W/m^{2}

• Dopplereffekt:

ν_{O} = \frac{1 − v_{O}/v}{1 − v_{S}/v} ν_{S}

• For sjokkbølger:

sin α = \frac{v}{v_{S}}

• Transversal bølge på streng med massetetthet μ_{1} for x < 0 og μ_{2} for x > 0, innkommende bølge propagerer i positiv x-retning:

Amplitude for reflektert bølge:

y_{r0} = \frac{\sqrt{μ_{2}} − \sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0}

Amplitude for transmittert bølge:

y_{t0} = \frac{2\sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0}

Refleksjonskoeffisient:

R = \begin{matrix}\overline{P} & r \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Transmisjonskoeffisient:

T = \begin{matrix}\overline{P} & t \\ \overline{P} & i \end{matrix}

• Plan lydbølge normalt inn mot grenseflate i x = 0 mellom to medier med elastiske moduler og massetettheter henholdsvis E_{1}, ρ_{1} (for x < 0) og E_{2}, ρ_{2} (for x > 0), innkommende bølge propagerer i positiv x-retning:

Amplitude for reflektert bølge:

ξ_{r0} = \frac{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} − \sqrt{ρ_{1}E_{1}}}{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} + \sqrt{ρ_{1}E_{1}}} ξ_{i0}

Amplitude for transmittert bølge:

ξ_{t0} = \frac{2\sqrt{ρ_{1}E_{1}}}{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} + \sqrt{ρ_{1}E_{1}}} ξ_{i0}

Refleksjonskoeffisient:

R = \begin{matrix}\overline{P} & r \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Transmisjonskoeffisient:

T = \begin{matrix}\overline{P} & t \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Side 11 av 15

• Maxwells ligninger på integralform:

∮ E · dA = q/ε_{0}
∮ B · dA = 0

∮ E · dl = −\frac{d}{dt} ∫ B · dA

∮ B · dl = μ_{0}I + μ_{0}ε_{0} \frac{d}{dt} ∫ E · dA

• Maxwells ligninger på differensialform: ∇ · E = ρ/ε_{0} ∇ · B = 0

∇ × E = −\frac{∂B}{∂t}

∇ × B = μ_{0}j + μ_{0}ε_{0} \frac{∂E}{∂t}

• Lorentzkraften:

F = q (E + v × B)

• Bølgeligning for E og B i vakuum:

∇^{2}E = \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}E}{∂t^{2}}

∇^{2}B = \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}B}{∂t^{2}}

c = 1/\sqrt{ε_{0}μ_{0}}

• Energitetthet i elektromagnetisk felt:

u = u_{E} + u_{B} = \frac{1}{2}ε_{0}E^{2} + \frac{1}{2μ_{0}} B^{2}

• Intensitet i elektromagnetisk bølge:

I = cε_{0}\overline{E^{2}} = cε_{0}⟨E^{2}⟩

• Poyntings vektor:

S = \frac{1}{μ_{0}} E × B

• Impuls i elektromagnetisk bølge:

π = μ_{0}ε_{0}S

Side 12 av 15

• Elektrisk dipolmoment:

p = qd

• Magnetisk dipolmoment:

m = IA

• Midlere utstrålt effekt fra oscillerende elektrisk dipol p_{0} cos(ωt):

⟨P ⟩ = \frac{p_{0}^{2}ω^{4}}{12πε_{0}c^{3}}

• Midlere utstrålt effekt fra oscillerende magnetisk dipol m_{0} cos(ωt):

⟨P ⟩ = \frac{μ_{0}m_{0}^{2}ω^{4}}{12πc^{3}}

• Malus’ lov:

I(θ) = I_{0} cos^{2} θ

• Lineære medier:

P = ε_{0}χ_{e}E
D = ε_{0}E + P = ε_{0}(1 + χ_{e})E = ε_{0}ε_{r}E = εE
M = χ_{m}H
B = μ_{0}H + M = μ_{0}(1 + χ_{m})H = μ_{0}μ_{r}H = μH
∮ D · dA = q_{fri}
∮ B · dA = 0
∮ E · dl = −\frac{d}{dt} ∫ B · dA
∮ H · dl = I_{fri} + \frac{d}{dt} ∫ D · dA
∇ · D = ρ_{fri}
∇ · B = 0
∇ × E = −\frac{∂B}{∂t}
∇ × H = j_{fri} + \frac{∂D}{∂t}
u = \frac{1}{2}εE^{2} + \frac{1}{2μ}B^{2}
S = \frac{1}{μ}E × B

Side 13 av 15

• For elektromagnetiske bølger i medier (q_{fri} = I_{fri} = 0):

∇^{2}E = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}E}{∂t^{2}}
∇^{2}B = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}B}{∂t^{2}}
v = \frac{1}{\sqrt{εμ}} = \frac{c}{\sqrt{ε_{r}μ_{r}}} = \frac{c}{n}

• Grenseflatebetingelser (q_{fri} = I_{fri} = 0 i grenseflaten):

ΔD_{⊥} = 0
ΔE_{∥} = 0
ΔB_{⊥} = 0
ΔH_{∥} = 0

• Refleksjon og brytning:

θ_{r} = θ_{i}
n_{1} sin θ_{i} = n_{2} sin θ_{t}

• Youngs eksperiment med to smale spalter:

I(θ) = 4I_{0} cos^{2} (\frac{πd}{λ} sin θ)

• Diffraksjonsgitter med N smale spalter:

I(θ) = I_{0} sin^{2} (\frac{Nπd}{λ} sin θ) ; sin^{2} (\frac{πd}{λ} sin θ)

• Diffraksjon fra en spalte:

I(θ) = I(0) \begin{matrix}sin & 2 & (\frac{πa}{λ} sin θ) \\ (\frac{πa}{λ} sin θ) & 2 \end{matrix}

Side 14 av 15

• Lorentzfaktor:

γ = (1 − v^{2}/c^{2})^{−1/2}

• Lorentztransformasjonene (\overline{S} har hastighet v = vx̂ i forhold til S):

\overline{x} = γ (x − vt)
\overline{y} = y
\overline{z} = z
\overline{t} = γ (t − \frac{v}{c^{2}} x)
x = γ (\overline{x} + v\overline{t})
y = \overline{y}
z = \overline{z}
t = γ (\overline{t} + \frac{v}{c^{2}} \overline{x})

• Tidsdilatasjon:

Δt = γΔ\overline{t}

• Lengdekontraksjon:

Δ\overline{x} = γΔx

• Hastighet i S (u = u_{x}x̂ + u_{y}ŷ + u_{z}ẑ):

u_{x} = dx/dt
u_{y} = dy/dt
u_{z} = dz/dt

Hastighet i \overline{S} (\overline{u} = \overline{u}_{x}x̂ + \overline{u}_{y}ŷ + \overline{u}_{z}ẑ):

\overline{u}_{x} = d\overline{x}/d\overline{t}
\overline{u}_{y} = d\overline{y}/d\overline{t}
\overline{u}_{z} = d\overline{z}/d\overline{t}

• Addisjon av hastigheter (alle hastigheter i samme retning):

v_{AC} = \frac{v_{AB} + v_{BC}}{1 + v_{AB}v_{BC}/c^{2}}

• Dopplereffekt for elektromagnetiske bølger:

\overline{ν} = ν (\frac{c − v}{c + v} )^{1/2}

Side 15 av 15

• Relativistisk impuls:

p = γmv

• Newtons 2. lov:

F = \frac{dp}{dt}

• Energi:

E = γmc^{2}
E_{0} = mc^{2}
E_{k} = E − E_{0}
E^{2} = (pc)^{2} + (mc^{2})^{2}

• Elastisk prosess: E, p, E_{k} og m bevart.

• Uelastisk prosess: E og p bevart.