Side 1 av 4

Norges teknisk–naturvitenskapelige universitet NTNU

Institutt for fysikk

Fakultet for naturvitenskap og teknologi

Faglig kontakt under eksamen: Alex Hansen Telefon: 924 11 965

Eksamen i FY1002 BØLGEFYSIKK

Fredag, 2. juni, 2006 09:00–13:00

Tillatte hjelpemidler: Alternativ B Godkjent lommekalkulator. K. Rottman: Matematisk formelsamling (alle sprogutgaver). O.H. Jahren og K.J. Knudsen: Formelsamling i matematikk. Tosidig håndskrevet ark med formler.

Dette oppgavesettet er på 4 sider.

Oppgave 1

Vi tar for oss en uendelig lang streng med massetetthet μ og snordrag F_{T}. Det går transversale bølger langs strengen. Disse har små utslag slik at bølgeligningen,

\frac{∂^{2}D⃗(x, t)}{∂x^{2}} = K \frac{∂^{2}D⃗(x, t)}{∂t^{2}} ,

gjelder. Her er D⃗(x, t) det transversale ustslaget av strengen i punktet x og ved tiden t. Videre er K = μ/F_{T} en konstant.

a) Kan denne bølgen sirkulærpolariseres? Begrunn svaret.

b) Vi antar i resten av oppgaven at bølgen er polarisert i y-retningen. Vi har en harmonisk

vandrebølge

D_{y}(x, t) = D_{0} cos(kx − ωt + ϕ) .

Her er k = 2π/λ der λ er bølgelengden og ω = 2πν der ν er frekvensen. ϕ er en vilkårlig fasefaktor. Vi setter λ = 400m og ν = 0, 016Hz. Hva er fasehastigheten? Hva er relasjonen mellom fasehastigheten og massetettheten μ?

c) Vis at dette systemet ikke har dispersjon. Det vil si, vis at gruppehastighet er lik fasehastighet her.

Eksamen i FY1002 Bølgefysikk, 2. juni, 2005 Side 2 av 4

La oss nå anta at strengen svinger i luft som er overmettet med vanndamp. Det betyr at jo langsommere strengen svinger, jo høyere blir den effektive massetettheten μ til den siden mer og mer vann har anledning til å kondensere på strengen. La oss anta at

μ(ν) = \frac{μ_{0}}{1 + (ν_{0}/ν)^{2}} ,

der μ_{0} og ν_{0} er konstanter. Vi antar videre at relasjonen mellom μ og fasehastigheten forblir uendret i forhold til punkt c) over. Vis at dispersjonsrelasjonen blir

ω(k) = \sqrt{\frac{F_{T}}{μ_{0}}} k [\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{1 + \frac{16π^{2}μ_{0}ν_{0}^{2}}{F_{T} k^{2}}} ]^{1/2} .

d) Hvilken oppførsel må vi forvente av denne dispersjonsrelasjonen for korte bølgelengder? Begrunn svaret.

Oppgitt formel for denne oppgaven: v_{g} = dω/dk.

Oppgave 2

Maxwells ligninger er

∇ · E⃗ = \frac{ρ}{ϵ_{0}} ,

∇ · B⃗ = 0 ,

∇ × E⃗ = − \frac{∂B⃗}{∂t}

og

∇ × B⃗ = μ_{0}j⃗ + ϵ_{0}μ_{0} \frac{∂E⃗}{∂t} .

a) Utled fra Maxwells ligninger bølgeligningen for elektriske felt,

∇^{2}E⃗ = \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}E⃗}{∂t^{2}}

og for magnetiske felt,

∇^{2}B⃗ = \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}B⃗}{∂t^{2}} .

Vi antar en lysstråle som forplaner seg som en harmonisk planbølge i vakuum. Den er gitt ved

E⃗ = E⃗_{0} cos(k⃗ · r⃗ − ωt + ϕ_{E})

og

B⃗ = B⃗_{0} cos(k⃗ · r⃗ − ωt + ϕ_{B})

b) Vis at k⃗/|k⃗| angir forplantningsretningen til denne planbølgen.

c) Bruk Maxwells første ligning, ∇ · E⃗ = ρ/ϵ_{0} til å vise at E⃗_{0} ⊥ k⃗, hvor k⃗. Bruk Maxwells andre ligning til å vise tilsvarende resultat for magnetfeltet. Hva sier dette om longitudinelle lysbølger?

d) Bruk Maxwells ligninger til å vise at

E_{0} ⊥ B_{0}

for denne planbølgen.

e) Vis til sist at

cB = E

for denne bølgen.

Du får sikkert bruk for ∇ × (∇ × a⃗) = ∇(∇ · a⃗) − ∇^{2}a⃗.

Oppgave 3

Lorentz-transformasjonene mellom to inertielle referanse-systemer som beveger seg med relativhastighet v = 1/2 er

\begin{aligned}Δx & = & \frac{Δx′}{\sqrt{1−v^{2}}} + \frac{vΔt′}{\sqrt{1−v^{2}}} , \\ Δt & = & \frac{vΔx′}{\sqrt{1−v^{2}}} + \frac{Δt′}{\sqrt{1−v^{2}}} . \end{aligned}

Vi har brukt naturlige enheter i disse formelene slik at lyshastigheten er 1 og tid måles i meter.

a) Når lyshastigheten i SI-enheter er c = 2, 997925 × 10^{8} meter per sekund, hva er 4 × 10^{−5} sekunder regnet om til naturlige enheter der tid må les i meter?

b) Beskriv med ord hva Lorentztransformasjonene brukes til. Hva er Δx, Δt, Δx′ og Δt′?

Vi vil i det følgende kalle (t, x)-systemet for laboratorie-systemet og (t′, x′)-systemet for rakett-systemet.

c) Vi antar at en stav med lengde l′ ligger i ro relativt til rakettsystemet. Hvor lang vil den se ut i laboratoriesystemet? (Hint: Tenk på at du må måle begge endene av staven til samme tid i laboratoriesystemet.)

Svar: l = (\sqrt{3}/2)l′. Dette kalles Lorentz-kontraksjonen.

Siden staven i det laboratoriet kun har en lengde på l = (\sqrt{3}/2)l′ ≈ 0.87l′, vil den passe inn i en boks med lengde l_{e} = (9/10)l. Legg merke til at l < l_{e}. Boksen har lokk i begge ender som kan lukkes raskt. La oss anta de er åpne, og i det øyeblikket hele staven er inne i boksen, lukker vi igjen begge lokkene.

Sett fra rakett-systemet har staven lengde l og det er boksen som er Lorentz-kontraktert. Den har en lengde i dette systemet på l′_{e} = (\sqrt{3}/2)l_{e}. Det vil si at l′_{e} < l′: Staven er i dette systemet lengre enn boksen og kan da ikke lukkes inne i den.

Her har vi et paradoks. I laboratorie-systemet har vi lukket staven inne i boksen, mens i rakettsystemet er staven for lang i forhold til boksen og den kan ikke lukkes inne i den. Vi skal nå rydde opp i dette.

d) Bruk Lorentz-transformasjonene til å finne tidsforskjellen mellom lukkingen av lokket foran staven og lukkingen av lokket bak staven i rakettsystemet når dette skjer simultant i laboratorie-systemet.

Svar: Δt′ = −l_{e}/\sqrt{3}.

e) Hva betyr fortegnet i svar-formelen over med hensyn på hvilket lokk som ble lukket først?

f) Hvor er bakenden av staven når front-lokket lukkes i rakettsystem og hvor er frontenden av staven når lokket bak lukkes i rakettsystemet? (Svar kun kvalitativt — men legg vekt på hvordan dette løser paradokset.)