TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 1

Løsning Øving 1

Løsning oppgave 1

a) Fra forelesningene lign. (2.3) har vi:

ω = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{0.40}{0.025}} rad/s = \underline{\underline{4.0 rad/s}}  (1)
T = \frac{2π}{ω} = \underline{\underline{1.6 s}}  (2)

b) Oppgitt:

x = A cos(ωt + φ)  (3)
x(0) = x_{0} = 0.10 m  (4)
v(0) = v_{0} = 0.40 m/s  (5)

som gir:

v = \frac{dx}{dt} = −ωA sin(ωt + φ)  (6)
x(0) = A cos φ = 0.10 m  (7)
v(0) = −ωA sin φ = 0.40 m/s.  (8)

Lign. (8) dividert med lign. (7) gir:

−ω tan φ = 4.0 s^{−1}
tan φ = −\frac{4.0}{4.0} = −1.0
φ = \underline{\underline{−45^{∘}}}  (9)

Lign. (9) innsatt i (7) gir

A cos(−45^{∘}) = 0.10 m  (10)
A = \frac{0.10 m}{cos 45^{∘}} = \underline{\underline{0.14 m}}  (11)

c) Energien er f.eks. lik maksimal potensiell energi og dermed (ved hjelp av lign. 2.22 i forelesningene):

E = E_{p_{maks}} = \frac{1}{2}kA^{2} = \underline{\underline{4.0 · 10^{−3} J}}  (12)

TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 2

Løsning oppgave 2

a) Vi kaller lengden fjær 1 blir strukket eller sammentrykt for x_{1} og tilsvarende for fjær 2 for x_{2}. Forskyvning av likevektsposisjon til massen m kaller vi x og må da ha:

x = x_{1} + x_{2}.  (13)

Fjærene er antatt å være masseløse. Kreftene som virker på dem må derfor være like, dvs.

F = −k_{1}x_{1} = −k_{2}x_{2}.  (14)

Newtons andre lov for massen m gir svingeligningen for systemet:

m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = −k_{1}x_{1} = −k_{2}x_{2} ≡ −kx,  (15)

der vi har kalt resulterende fjærkonstant for k. Fra lign. (14) og (15) har vi:

F = −kx = −k_{1}x_{1} = −k_{2}x_{2},  (16)

som gir:

x = −\frac{F}{k} , x_{1} = −\frac{F}{k_{1}} , x_{2} = −\frac{F}{k_{2}}

og dermed fra:

x = x_{1} + x_{2}

får vi:

−\frac{F}{k} = −\frac{F}{k_{1}} − \frac{F}{k_{2}}
\frac{1}{k} = \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}
k = \underline{\underline{\frac{k_{1}k_{2}}{k_{1} + k_{2}}}} .  (17)

Ved sammenligning med lign. (2.3), (2.4) og (2.6) i forelesningene har vi da:

T = \frac{2π}{ω} = \frac{2π}{\sqrt{k/m}} = \underline{\underline{2π\sqrt{\frac{m(k_{1} + k_{2})}{k_{1}k_{2}}}}} = \underline{\underline{2π\sqrt{m (\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} )}}}  (18)

TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 3

b) I dette tilfellet må den lengden fjær 1 blir sammentrykket være lik lengden fjær 2 blir strukket og motsatt. Kaller vi forskyvning av massen m for x, må vi derfor ha (sammentrykning/strekking av både fjær 1 og 2 er lik |x|):

F_{1} = −k_{1}x,  (19)
F_{2} = −k_{2}x.  (20)

Newtons andre lov gir dermed følgende svingeligning for systemet:

m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = F_{1} + F_{2} = −(k_{1} + k_{2})x ≡ −kx,  (21)

der vi har kalt resulterende fjærkonstant for k, som i følge lign. (21) må være gitt ved:

k = \underline{\underline{k_{1} + k_{2}}}.  (22)

På helt tilsvarende vis som i punkt a) får vi for perioden T:

T = \frac{2π}{ω} = \frac{2π}{\sqrt{k/m}} = \underline{\underline{2π\sqrt{\frac{m}{k_{1} + k_{2}}}}}  (23)