TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 1

Løsning Øving 11

Løsning oppgave 1

a) Fra ligningen på side 218 i forelesningene har vi:

sin θ_{c} = \frac{n_{1}}{n_{2}}  (1)

Her er n_{1} = 1, og θ_{c} skal være 45^{∘} som gir innsatt i (1):

n_{2} = \frac{1}{sin 45^{∘}} = \frac{1}{\sqrt{2}} ≈ \underline{\underline{1.41}}  (2)

b) Skal prismekikkerten virke under vann, må vi der ha θ_{c} < 45^{∘}. Fra lign. (1) får vi:

sin θ_{c} = \frac{1.33}{1.50}

som gir:

θ_{c} = 62.5^{∘}  (3)

Dvs: \underline{\underline{Prismekikkerten virker ikke under vann.}}

c) Minimalverdien for n_{2} dersom prismekikkerten skal virke under vann er gitt ved:

sin 45^{∘} = \frac{n_{1}}{n_{2}} = \frac{1.33}{n_{2}}

som gir:

n_{2} = \frac{1.33}{sin 45^{∘}} = \underline{\underline{1.88}}  (4)

Løsning oppgave 2

[figure: θ_{c}; x_{max}; 5.0 m]

Vi kaller største horisontale avstand som sjøfuglen kan se haien for x_{max}. Vi har da:

sin θ_{c} = \frac{1.00}{1.33} ⇒ θ_{c} = 48.8^{∘}

TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 2

og

x_{max} = 5.0 m · tan θ_{c} = \underline{\underline{5.7 m}}

Løsning oppgave 3

For alle typer bølger (også lydbølger) har vi

\frac{sin θ_{1}}{sin θ_{2}} = \frac{v_{1}}{v_{2}}  (5)

For lyd får vi (på samme måte som for lys) totalrefleksjon når sin θ_{2} = 1, dvs. når θ_{1} = θ_{c} er gitt ved:

sin θ_{c} = \frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{340}{1500}  (6)
⇒ θ_{c} = 13.1^{∘}

Situasjonen i oppgaven er (med minimum avstand fra båten for totalrefleksjon kalt x_{min}) som illustrert nedenfor:

som gir:

x_{min} = 200 m · tan 13.1^{∘} ≈ \underline{\underline{47 m}}  (7)

[figure: θ_{c}; θ_{c}; x_{min}; 200 m]

TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 3

Løsning oppgave 4

θ_{a}  θ_{b}^{\frac{A}{2}}  ^{\frac{A}{2}} θ′_{b}  θ′_{a}  δ

a) Ved figurbetraktning ser vi

θ_{b} = A/2  (8)

(Vinklenes høyre bein står normalt hverandre og også vinklenes venstre)

∠CBD = \frac{δ}{2}  (9)

(Symmetrisk gjennomgang og derfor like stor brytning gjennom begge flater.) Dermed:

θ_{a} = \frac{δ}{2} + θ_{b} =^{(8)} \frac{δ}{2} + \frac{A}{2}  (10)

Ved Snells brytningslov:

\frac{sin θ_{a}}{sin θ_{b}} = \frac{n}{1} = n  (11)

(8) og (9) i (10) gir:

\underline{\underline{sin \frac{δ + A}{2}}} = \underline{\underline{n sin \frac{A}{2}}} q.e.d (12)

b) n = 1.62 og A = 60^{∘}

sin \frac{δ + A}{2} = n sin \frac{A}{2} = 1.62 · \frac{1}{2} = 0.81  (13)

TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 4

⇒ \frac{δ + A}{2} = 54.1^{∘}

og

δ = 2 · 54.1^{∘} − 60.0^{∘} = 48.2^{∘} ≈ \underline{\underline{48^{∘}}}  (14)

c)

sin \frac{δ_{rød} + A}{2} = n_{rød} sin \frac{A}{2} = \frac{n_{rød}}{2}  (15)
sin \frac{δ_{fiolett} + A}{2} = n_{fiolett} sin \frac{A}{2} = \frac{n_{fiolett}}{2}  (16)

⇒

sin \frac{δ_{fiolett} + A}{2} − sin \frac{δ_{rød} + A}{2} = \frac{n_{fiolett} − n_{rød}}{2}  (17)

Rottmann s.42:

sin α − sin β = 2 cos \frac{α + β}{2} sin \frac{α − β}{2}

gir:

2 cos (\frac{δ_{fiolett} + δ_{rød}}{4} + \frac{A}{2}) sin (\frac{δ_{fiolett} − δ_{rød}}{4} ) = \frac{n_{fiolett} − n_{rød}}{2} = 0.02  (18)
\frac{δ_{fiolett} + δ_{rød}}{2} ≈ δ_{med n=1.62}

gir innsatt i (18):

2 cos (\frac{48.2^{∘} + 60.0^{∘}}{2} ) sin (\frac{δ_{diff}}{4} ) = 0.02  (19)

der δ_{diff} ≡ δ_{fiolett} − δ_{rød} og videre:

sin \frac{δ_{diff}}{4} = \frac{0.02}{1.173} ≈ 0.0171

som gir:

δ_{diff} = 3.91^{∘} ≈ \underline{\underline{3.9^{∘}}}  (20)

\underline{Merknad:} Bare det som er dekket av denne oppgaven er pensum av A&F kap 33.6.