TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 1

ØVING 2

Veiledning: 12–15.09 Innleveringsfrist: 16.09

\underline{Oppgave 1}

a) En masse m = 5.00 kg er gjennom en fjær med fjærkonstant (fjærstivhet) k forbundet med et fast punkt. Parallelt med fjæra kan det være en mekanisk demper med dempningsresistans b. Dette svingesystemet oppfyller den lineære differensialligningen:

m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + b\frac{dx}{dt} + kx = F (t)  (1)

der x = x(t) er utsvinget av massen (regnet fra likevektsposisjonen). Videre er F (t) en gitt ytre kraft som virker på massen (i x-retningen).

a) Når svingesystemet svinger fritt (dvs. når F (t) = 0), har det en svingeperiode T_{0} = 10.0 s. Finn fjærkonstanten k (uttrykt ved m og T_{0}) når vi regner med at svingningen er udempet (b = 0). Regn også ut tallsvar. (Tips: Benytt den generelle løsningen x = A cos(ω_{0}t + φ) som prøveløsning og bestem ω_{0} = \frac{2π}{T_{0}} gitt ved k og m.)

b) Når den mekaniske dempningen er virksom (b ≠ 0), blir det en dempet svingning med “periode” T_{d} = 10.5 s (slik at det er en tidsforskjell T_{d}/2 mellom hver gang massen passerer likevektsposisjonen x = 0). Finn dempningsresistansen b (uttrykt ved T_{0}, T_{d} og m). Regn og ut tallsvar. (Tips: Benytt den generelle løsningen x = Ae^{−δt} cos(ω_{d}t + φ) som prøveløsning og bestem først ω_{d} = \frac{2π}{T_{d}} og δ gitt ved ω_{0}, b og m.)

c) For tilfellet med:

F (t) = F_{0} cos(ωt)  (2)

der F_{0} = 1.00 N, har differensialligningen en partikulær løsning

x(t) = A_{0} sin(ωt + φ_{0})  (3)

der A_{0} og φ_{0} kan gis ved:

A_{0} = \frac{F_{0}}{ωG(ω)} og cos φ_{0} = \frac{b}{G(ω)}

med:

G(ω) = \sqrt{b^{2} + (ωm − k/ω)^{2}}

Finn bokstavuttrykk og tallsvar for den vinkelfrekvensen ω = ω_{1} der utsvinget x har størst amplitude og for den vinkelfrekvensen ω = ω_{2} der farten v = dx/dt har størst amplitude. Finn

TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 2

også tilhørende tallverdier for φ_{0}.

\underline{Oppgave 2}

(Denne oppgaven er ment som introduksjon til bølgefysikk, og forutsetter ikke kunnskaper i bølgefysikk utover 2FY.)

En bølge forplanter seg langs en streng utstrakt horisontalt (i x-retning). Strengen har kun vertikale utsving (i y-retning). Vi antar at strengen er uendelig lang og at utsvinget til strengen (overalt og til alle tider) er beskrevet ved:

y = A sin(kx − ωt)

der A = 0.010 m, k = \frac{2π}{0.10} m^{−1} og ω = 2π · 1.0 · 10^{2} s^{−1}.

a) Tegn opp (dvs. skissér for hånd) utsvinget y som funksjon av x for 0 ≤ x ≤ 0.25 m for t = 0, t = 0.0025 s og t = 0.0050 s. For hvilke tider t vil utslaget y (for alle verdier av x) være det samme som for t = 0?

b) Finn perioden T for denne bølgen (dvs. tiden mellom for eksempel to påfølgende maksimalutsving i positiv y-retning for en gitt x-verdi).

c) Finn bølgelengden λ for denne bølgen (dvs. for eksempel avstanden mellom to nærmeste bølgetopper).

d) Finn hastigheten v_{f} som bølgetoppen forplanter seg med i x-retning. (Denne hastigheten kalles fasehastigheten til bølgen). Finn også den maksimale hastigheten v_{p} til et strengelement. (Denne hastigheten kalles ofte partikkelhastighet.)

e) Finn den maksimale akselerasjon a^{maks} et strengelement kan ha.

f) Dersom

y = A cos(kx − ωt + φ)

skal beskrive eksakt den samme bølgen som

y = A sin(kx − ωt),

hvilken verdi må φ ha? (Bølgeforplantning med bølger som kan beskrives ved én sinusfunksjon eller én cosinusfunksjon som ovenfor, kalles harmoniske bølger. Ethvert strengelement svinger harmonisk.)