TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 1

Løsning Øving 4

Løsning oppgave 1

a) Bølgehastigheten er gitt ved lign. (1.36) i forelesningsnotatene:

v = \sqrt{\frac{F_{T}}{μ}} = \sqrt{\frac{4.0}{0.010} \frac{N}{kg/m}} = \underline{\underline{20 m/s}}

b)

v = \frac{λ}{T} = λν ⇒ λ = \frac{v}{ν} = \frac{20 m/s}{1.0 s^{−1}} = \underline{\underline{20 m}}

c) Bølgen er beskrevet ved:

y = A cos(kx − 2πνt + φ)  (1)

der k = 2π/λ og φ er en konstant vi skal bestemme. Vi velger x = 0 ved svingekilden og må da ha:

y = A cos(−2πνt + φ) = A cos 2πνt  (2)

som gir φ = 0 siden cos u = cos(−u) og dermed at bølgen er beskrevet ved:

y = A cos(kx − 2πνt)  (3)

For x = 1.0 m får vi:

y = A cos (2π \frac{1.0}{20} − 2πνt)

= A cos [− (2πνt − \frac{1}{10}π)] = A cos (2πνt − \frac{π}{10})

= \underline{\underline{0.10 m · cos (2πτ − \frac{π}{10})}}

der τ er t målt i sekund (dvs. antall sekunder). Utsvinget er altså her faseforsinket π/10 i forhold til svingekilden. For x = 5.0 m får vi helt tilsvarende:

y = A cos (2π \frac{5.0}{20} − 2πνt)

= A cos (2πνt − \frac{π}{2} ) = 0.10 m · cos (2πτ − \frac{π}{2} )

= \underline{\underline{0.10 m · sin 2πτ}}

TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 2

Utsvinget er altså her faseforskjøvet π/2 i forhold til svingekilden.

Løsning oppgave 2

a)

|D⃗| = D_{0} [cos^{2}(kx − ωt) + sin^{2}(kx − ωt)]^{1/2}
= D_{0} for alle x og t

dvs. at vi alltid har konstant utsving. Dette må bety at spissen på vektoren D⃗ alltid må ligge på en sirkel med radius D_{0}. Siden både D_{z} og D_{y} kontinuerlig gjennomløper alle verdier mellom −D_{0} til +D_{0}, må D⃗ kontinuerlig gjennomløpe alle punkter på sirklen. Dvs. at bølgen er sirkulær polarisert. q.e.d.

b)

D_{z} = D_{0} cos(kx − ωt) = D_{0} cos(ωt − kx)
D_{y} = D_{0} sin(kx − ωt) = D_{0} cos(kx − ωt − π/2)
= A cos [(ωt + π/2) − kx]

Dette betyr at for alle verdier av x så ligger D_{y} faseforskjøvet π/2 foran D_{z}. F.eks. så vil D_{y} nå sin maksimalverdi +D_{0} en fase π/2 tidligere enn D_{z}. Når D_{y} = +D_{0} er D_{z} = 0 og D_{y} = 0 når D_{z} = +D_{0}. Dvs. at vi for enhver verdi av x har en situasjon som skissert nedenfor:

x  D_{0} z  D⃗  D_{0}  y

Bølgen forplanter seg i positiv x-retning. Vi ser derfor av skissen ovenfor at D⃗ roterer mot urviseren for observatør som ser mot bølgens forplantningretning. Bølgen er

TFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 3

altså \underline{\underline{venstre-sirkulær}} polarisert.

c) Skal vi ha en bølge som er høyre-sirkulær polarisert, må vi la D_{z} ligge en fase π/2 foran D_{y}. Det får vi ved f.eks.

\underline{\underline{D_{z} = D_{0} sin(kx − ωt)}}

og

\underline{\underline{D_{y} = D_{0} cos(kx − ωt)}}