Side 1 av 15

NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK

Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33

EKSAMEN TFY4160 BØLGEFYSIKK Mandag 3. desember 2007 kl. 0900 - 1300 Norsk utgave

Hjelpemiddel: C

• K. Rottmann: Matematisk formelsamling (alle språk).

• O. Øgrim og B. E. Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk, eller C. Angell og B. E. Lian: Fysiske størrelser og enheter.

• Typegodkjend kalkulator, med tomt minne, i henhold til liste utarbeidd av NTNU. (HP30S eller liknende.)

Side 2 - 6: Oppgavene. Side 7 - 15: Formelsamling.

Prøva består av 7 oppgaver. Det er angitt hvor mye de ulike oppgavene i utgangspunktet vil telle under vurderinga. Vektorstørrelser angis med feite typer. Enhetsvektorer angis med hatt over symbolet.

Sensuren kommer når den er klar, seinest 3. januar.

Side 2 av 15

OPPGAVE 1 [Teller 20%]

En masse m er festet til ei fjær med fjærkonstant k. Dempingskraften er proporsjonal med hastigheten, −bẋ. En ytre kraft F_{0} sin ωt sørger for at massen svinger fram og tilbake med vinkelfrekvens ω.

• Vis at massens bevegelse er bestemt av ligningen

ẍ + 2δẋ + ω_{0}^{2}x = A_{0} sin ωt,

og bestem derved δ, ω_{0} og A_{0}. Her er x massens utsving i forhold til likevektsposisjonen x = 0.

• Løsningen av denne ligningen oppgis å være på formen

x(t) = x_{0}(ω) cos(ωt + ϕ)

der utsvingsamplitudens frekvensavhengighet er gitt ved

x_{0}(ω) = \frac{A_{0}}{\sqrt{(ω_{0}^{2} − ω^{2})^{2} + (2ωδ)^{2}}}

Anta svak demping, dvs δ ≪ ω_{0}, og regn ut resonanstoppens halvverdibredde Δω, dvs differansen mellom de to vinkelfrekvensene ω_{±} = ω_{0} ± Δω/2 som gir amplitude x_{0} lik maksimal amplitude dividert med \sqrt{2}. (Med svak demping oppnås maksimal amplitude for ω ≃ ω_{0}.)

—————–

Den hastighetsavhengige dempekraften erstattes nå med ordinær friksjon mot et underlag med friksjonskoeffisient μ (som er like stor statisk og dynamisk), slik at det hele tiden virker en friksjonskraft μmg, motsatt rettet massens bevegelse. Her er g tyngdens akselerasjon. (Ligger massen i ro, er friksjonskraften inntil μmg, motsatt rettet øvrige krefter som forsøker å sette massen i bevegelse.) Vi skrur dessuten av den ytre kraften og studerer fri svingninger. Figuren viser eksempelvis situasjonen med x > 0 og ẋ > 0.

Posisjonen x = 0 for massen tilsvarer at fjæra verken er strukket eller presset sammen. Ved tidspunktet t = 0 trekkes massen mot høyre, til posisjonen x(0) = 4.5μmg/k, og slippes uten starthastighet.

• Vis at massens bevegelse beskrives av ligningen(e)

ξ̈+ ω^{2}ξ = 0

der vi har innført ξ = x ± μmg/k, og der fortegnet avhenger av om massen beveger seg mot høyre eller venstre. Hva blir vinkelfrekvensen ω?

• Skisser x(t) fra t = 0 til t = 3T/2. Her er T = 2π/ω svingebevegelsens periode. Gi en kort kommentar til grafen.

OPPGAVE 2 [Teller 15%]

I denne oppgaven ser vi på overflatebølger på dypt vann. Disse oppfyller dispersjonsrelasjonen

ω(k) = \sqrt{gk + γk^{3}/ρ}

Her er k bølgetallet, g = 9.8 m/s^{2} tyngdens akselerasjon, ρ = 10^{3} kg/m^{3} vannets massetetthet og γ = 0.073 N/m vannets overflatespenning.

• Bestem perioden til bølger med bølgelengde λ = 2.0 m.

• Bestem bølgelengdene til bølger med fasehastighet v_{f} = 1.0 m/s.

• En bølgepakke har 9 tydelige bølgetopper og bølgelengde 2.0 m. Vi antar at bølgepakkens totale utstrekning tilsvarer 8.5 bølgelengder, dvs 17.0 m, og at denne ikke endrer seg nevneverdig mens vi foretar våre observasjoner. Figuren viser et øyeblikksbilde av bølgepakken:

Vi retter nå øynene mot en fast posisjon x_{0} og følger nøye med mens bølgepakken passerer. Hvor lang tid bruker bølgepakken på å passere x_{0}? Hvor mange bølgetopper ser vi passere x_{0}? Begrunn svaret. (Kommentar: En slik romlig avgrenset bølgepakke må strengt tatt ”inneholde” flere bølgelengder enn den ene på 2.0 m som det her er snakk om. Opplysningen om at bølgepakkens utstrekning ikke endrer seg, er imidlertid tilstrekkelig for å besvare spørsmålene.)

OPPGAVE 3 [Teller 15%]

Monokromatisk lys med bølgelengde λ = 632.8 nm faller normalt inn mot 4 smale parallelle spalter. Hver spalte har bredde a = 40.00 μm, og senter-til-senter avstanden mellom spaltene er d = 125.0 μm. Lyset som passerer gjennom spaltene, treffer en skjerm som er plassert i avstand L = 300.0 cm fra spalteåpningene, og resulterer i en intensitetsfordeling I(y). I figuren er spaltenes lengderetning normalt på papirplanet:

• Skriv ned et uttrykk for intensitetsfordelingen I(y) som gjelder for små avbøyningsvinkler θ. I dette uttrykket skal bare y stå igjen som variabel parameter (i tillegg til ”prefaktoren” I_{0}, som angir 1/16 av intensiteten i y = 0). Bruk 4 gjeldende siffer for numeriske faktorer som inngår i uttrykket, og pass på å angi hvilken enhet (m, cm, mm ..) du bruker for y.

• Hvor mange nullpunkter har I(y) totalt innenfor det sentrale diffraksjonsmaksimum? (Med det ”sentrale diffraksjonsmaksimum” menes området mellom y_{0} og −y_{0}, der y_{0} tilsvarer posisjonen til første nullpunkt dersom vi kun hadde en spalte med bredde a.) Skisser I(y) for −y_{0} < y < y_{0}.

OPPGAVE 4 [Teller 10%]

Upolarisert hvitt lys sendes inn mot en beholder med et spredende medium. Sprederne i beholderen kan betraktes som induserte oscillerende elektriske dipoler med dipolmoment p i samme retning som E i det innkommende lyset. (Konsentrasjonen av spredere er tilstrekkelig liten til at vi kan se bort fra at spredt lys spres på nytt.) Det innkommende lyset passerer gjennom en ideell polarisator slik at lyset som treffer beholderen har E ∥ ŷ.

• Diskuter kvalitativt (og kort) intensiteten, polariseringen og fargen til lyset som spres i henholdsvis y− og z−retningen.

OPPGAVE 5 [Teller 10%]

En monokromatisk plan elektromagnetisk bølge faller inn mot en plan grenseflate mellom to umagnetiske dielektriske medier 1 og 2, se figuren ovenfor. Dersom bølgen er polarisert parallelt med innfallsplanet, vil sammenhengen mellom amplituden til reflektert bølge, E_{rp0}, og amplituden til innkommende bølge, E_{ip0}, være gitt ved

E_{rp0} = \frac{α − β}{α + β} E_{ip0}

Her er α ≡ cos θ_{2}/ cos θ_{1} og β ≡ μ_{1}v_{1}/μ_{2}v_{2}, der μ_{j} og v_{j} er henholdsvis magnetisk permeabilitet og lyshastighet i medium nr j (j = 1, 2). Med umagnetiske medier er μ_{1} = μ_{2} = μ_{0}. Den innkommende bølgen blir fullstendig transmittert dersom innfallsvinkelen θ_{1} sammenfaller med Brewsters vinkel θ_{B}.

• Vis at Brewsters vinkel er gitt ved

tan θ_{B} = \frac{n_{2}}{n_{1}} ,

der n_{1} og n_{2} er brytningsindeks i henholdsvis medium 1 og 2.

OPPGAVE 6 [Teller 10%]

• Vis at en elektromagnetisk bølge i vakuum, med

E(r, t) = E_{0} sin(k · r − ωt)

og

B(r, t) = B_{0} sin(k · r − ωt)

er transversal. Tips: Maxwells ligninger.

OPPGAVE 7 [Teller 20%]

To like store masser m beveger seg rett mot hverandre. Før de kolliderer med hverandre, har massene 1 og 2 hastighet henholdsvis c/2 og −c/2, målt i labsystemet S_{3}. Her er c lyshastigheten. (Vi har med andre ord valgt positive hastigheter mot høyre.) Massene 1 og 2 er, før kollisjonen, i ro i henholdsvis referansesystem S_{1} og S_{2}.

• Før kollisjonen er de to massene 1 og 2 kuleformede i sine respektive hvilesystem S_{1} og S_{2}. Hva slags form har de i S_{3}? Begrunn svaret.

• La oss med notasjonen v_{ij} angi hastigheten til S_{i} observert i S_{j} (i, j = 1, 2, 3), slik at v_{13} = c/2 og v_{23} = −c/2. Bestem de resterende relativhastighetene v_{31}, v_{32}, v_{12} og v_{21}.

• Hva er systemets totale (relativistiske) impuls p_{3} og energi E_{3} i S_{3}? (Med ”systemet” menes her de to massene 1 og 2.) Bestem også total impuls p_{1} og energi E_{1} i S_{1}.

De to massene kolliderer fullstendig uelastisk og blir hengende sammen som ett legeme med masse M etter kollisjonen.

• Bruk prinsippene om impuls- og energibevarelse til å bestemme M. Hva er legemets hastighet v_{1} målt i S_{1}? (S_{1} er fortsatt referansesystemet som beveger seg med hastighet c/2 relativt labsystemet S_{3}.)

Side 7 av 15

Formelsamling

Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent.

• Harmonisk plan bølge:

ξ(x, t) = ξ_{0} sin(kx − ωt + ϕ)
ξ(r, t) = ξ_{0} sin(k · r − ωt + ϕ)

• Bølgeligning:

\frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂t^{2}}

∇^{2}ξ(r, t) (≡ \frac{∂^{2}ξ}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}ξ}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}ξ}{∂z^{2}} ) = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}ξ(r, t)}{∂t^{2}}

• Fasehastighet:

v = \frac{ω}{k}

• Gruppehastighet:

v_{g} = \frac{dω}{dk}

• Generelt for ikkedispersive udempede bølger: v = \sqrt{\frac{elastisk modul}{massetetthet}}

• Generelt for lineær respons i elastiske medier: mekanisk spenning = elastisk modul × relativ tøyning

• For transversale bølger på streng:

v = \sqrt{\frac{S}{μ}}

• For longitudinale bølger i fluider:

v = \sqrt{\frac{B}{ρ}}

• For longitudinale bølger i faste stoffer:

v = \sqrt{\frac{Y}{ρ}}

Side 8 av 15

• Middelverdi av harmonisk varierende størrelse A(x, t), midlet over bølgelengde λ:

\overline{A} = \frac{∫_{0}^{λ} A(x, t) dx}{∫_{0}^{λ} dx} = \frac{1}{λ} ∫_{0}^{λ} A(x, t) dx

Middelverdi av harmonisk varierende størrelse A(x, t), midlet over periode T:

⟨A⟩ = \frac{∫_{0}^{T} A(x, t) dt}{∫_{0}^{T} dt} = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} A(x, t) dt

• Midlere energi pr lengdeenhet for harmonisk bølge på streng:

\overline{ε} = \frac{1}{2}μω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere energi pr volumenhet for harmonisk plan bølge:

\overline{ε} = \frac{1}{2}ρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere effekt transportert med harmonisk bølge på streng:

\overline{P} = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vμω^{2}ξ_{0}^{2}

• Intensitet i harmonisk plan bølge:

I = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere impulstetthet for harmonisk bølge:

\overline{π} = \frac{\overline{ε}}{v}

• Ideell gass:

pV = Nk_{B}T

• Varmekapasitet ved konstant trykk (Q = varme):

C_{p} = (\frac{dQ}{dT})_{p}

• Varmekapasitet ved konstant volum (Q = varme):

C_{V} = (\frac{dQ}{dT})_{V}

• Adiabatiske forhold (dvs ingen varmeutveksling): pV^{γ} = konstant

• Adiabatkonstanten:

γ = \frac{C_{p}}{C_{V}}

Gass med 1-atomige molekyler: γ = 5/3. Gass med 2-atomige molekyler: γ = 7/5.

• Bulkmodul for ideell gass ved adiabatiske forhold: B = γp

• Lydhastighet i gass (m = molekylmassen):

v = \sqrt{\frac{γp}{ρ}} = \sqrt{\frac{γk_{B}T}{m}}

• Lydtrykk:

Δp = −B \frac{∂ξ}{∂x}

• Lydnivå:

β(dB) = 10 log \frac{I}{I_{0}}

med I_{0} = 10^{−12} W/m^{2}

• Dopplereffekt:

ν_{O} = \frac{1 − v_{O}/v}{1 − v_{S}/v} ν_{S}

• For sjokkbølger:

sin α = \frac{v}{v_{S}}

• Transversal bølge på streng med massetetthet μ_{1} for x < 0 og μ_{2} for x > 0, innkommende bølge propagerer i positiv x-retning:

Amplitude for reflektert bølge:

y_{r0} = \frac{\sqrt{μ_{2}} − \sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0}

Amplitude for transmittert bølge:

y_{t0} = \frac{2\sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0}

Refleksjonskoeffisient:

R = \begin{matrix}\overline{P} & r \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Transmisjonskoeffisient:

T = \begin{matrix}\overline{P} & t \\ \overline{P} & i \end{matrix}

• Plan lydbølge normalt inn mot grenseflate i x = 0 mellom to medier med elastiske moduler og massetettheter henholdsvis E_{1}, ρ_{1} (for x < 0) og E_{2}, ρ_{2} (for x > 0), innkommende bølge propagerer i positiv x-retning:

Amplitude for reflektert bølge:

ξ_{r0} = \frac{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} − \sqrt{ρ_{1}E_{1}}}{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} + \sqrt{ρ_{1}E_{1}}} ξ_{i0}

Amplitude for transmittert bølge:

ξ_{t0} = \frac{2\sqrt{ρ_{1}E_{1}}}{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} + \sqrt{ρ_{1}E_{1}}} ξ_{i0}

Refleksjonskoeffisient:

R = \begin{matrix}\overline{P} & r \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Transmisjonskoeffisient:

T = \begin{matrix}\overline{P} & t \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Side 11 av 15

• Maxwells ligninger på integralform:

∮ E · dA = q/ε_{0}
∮ B · dA = 0

∮ E · dl = −\frac{d}{dt} ∫ B · dA

∮ B · dl = μ_{0}I + μ_{0}ε_{0} \frac{d}{dt} ∫ E · dA

• Maxwells ligninger på differensialform: ∇ · E = ρ/ε_{0} ∇ · B = 0

∇ × E = −\frac{∂B}{∂t}

∇ × B = μ_{0}j + μ_{0}ε_{0} \frac{∂E}{∂t}

• Lorentzkraften:

F = q (E + v × B)

• Bølgeligning for E og B i vakuum:

∇^{2}E = \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}E}{∂t^{2}}

∇^{2}B = \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}B}{∂t^{2}}

c = 1/\sqrt{ε_{0}μ_{0}}

• Energitetthet i elektromagnetisk felt:

u = u_{E} + u_{B} = \frac{1}{2}ε_{0}E^{2} + \frac{1}{2μ_{0}} B^{2}

• Intensitet i elektromagnetisk bølge:

I = cε_{0}\overline{E^{2}} = cε_{0}⟨E^{2}⟩

• Poyntings vektor:

S = \frac{1}{μ_{0}} E × B

• Impuls i elektromagnetisk bølge:

π = μ_{0}ε_{0}S

Side 12 av 15

• Elektrisk dipolmoment:

p = qd

• Magnetisk dipolmoment:

m = IA

• Midlere utstrålt effekt fra oscillerende elektrisk dipol p_{0} cos(ωt):

⟨P ⟩ = \frac{p_{0}^{2}ω^{4}}{12πε_{0}c^{3}}

• Midlere utstrålt effekt fra oscillerende magnetisk dipol m_{0} cos(ωt):

⟨P ⟩ = \frac{μ_{0}m_{0}^{2}ω^{4}}{12πc^{3}}

• Malus’ lov:

I(θ) = I_{0} cos^{2} θ

• Lineære medier:

P = ε_{0}χ_{e}E
D = ε_{0}E + P = ε_{0}(1 + χ_{e})E = ε_{0}ε_{r}E = εE
M = χ_{m}H
B = μ_{0}H + M = μ_{0}(1 + χ_{m})H = μ_{0}μ_{r}H = μH

• Maxwells ligninger etc:

∮ D · dA = q_{fri}
∮ B · dA = 0
∮ E · dl = −\frac{d}{dt} ∫ B · dA
∮ H · dl = I_{fri} + \frac{d}{dt} ∫ D · dA
∇ · D = ρ_{fri}
∇ · B = 0
∇ × E = −\frac{∂B}{∂t}
∇ × H = j_{fri} + \frac{∂D}{∂t}

• Energitetthet, Poyntings vektor:

u = \frac{1}{2}εE^{2} + \frac{1}{2μ}B^{2}
S = \frac{1}{μ}E × B

Side 13 av 15

• For elektromagnetiske bølger i medier (q_{fri} = I_{fri} = 0):

∇^{2}E = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}E}{∂t^{2}}
∇^{2}B = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}B}{∂t^{2}}
v = \frac{1}{\sqrt{εμ}} = \frac{c}{\sqrt{ε_{r}μ_{r}}} = \frac{c}{n}

• Grenseflatebetingelser (q_{fri} = I_{fri} = 0 i grenseflaten):

ΔD_{⊥} = 0
ΔE_{∥} = 0
ΔB_{⊥} = 0
ΔH_{∥} = 0

• Refleksjon og brytning:

θ_{r} = θ_{i}
n_{1} sin θ_{i} = n_{2} sin θ_{t}

• Youngs eksperiment med to smale spalter:

I(θ) = 4I_{0} cos^{2} (\frac{πd}{λ} sin θ)

• Diffraksjonsgitter med N smale spalter:

I(θ) = I_{0} sin^{2} (\frac{Nπd}{λ} sin θ) ; sin^{2} (\frac{πd}{λ} sin θ)

• Diffraksjon fra en spalte:

I(θ) = I(0) \begin{matrix}sin & 2 & (\frac{πa}{λ} sin θ) \\ (\frac{πa}{λ} sin θ) & 2 \end{matrix}

• Diffraksjon fra N spalter med bredde a:

I(θ) = I_{0} sin^{2} (\frac{πa}{λ} sin θ) ; (\frac{πa}{λ} sin θ)^{2} sin^{2} (\frac{Nπd}{λ} sin θ) ; sin^{2} (\frac{πd}{λ} sin θ)

Side 14 av 15

• Lorentzfaktor:

γ = (1 − v^{2}/c^{2})^{−1/2}

• Lorentztransformasjonene (\overline{S} har hastighet v = vx̂ i forhold til S):

\overline{x} = γ (x − vt)
\overline{y} = y
\overline{z} = z
\overline{t} = γ (t − \frac{v}{c^{2}} x)
x = γ (\overline{x} + v\overline{t})
y = \overline{y}
z = \overline{z}
t = γ (\overline{t} + \frac{v}{c^{2}} \overline{x})

• Tidsdilatasjon:

Δt = γΔ\overline{t}

• Lengdekontraksjon:

Δ\overline{x} = γΔx

• Hastighet i S (u = u_{x}x̂ + u_{y}ŷ + u_{z}ẑ):

u_{x} = dx/dt
u_{y} = dy/dt
u_{z} = dz/dt

Hastighet i \overline{S} (\overline{u} = \overline{u}_{x}x̂ + \overline{u}_{y}ŷ + \overline{u}_{z}ẑ):

\overline{u}_{x} = d\overline{x}/d\overline{t}
\overline{u}_{y} = d\overline{y}/d\overline{t}
\overline{u}_{z} = d\overline{z}/d\overline{t}

• Addisjon av hastigheter (alle hastigheter i samme retning):

v_{AC} = \frac{v_{AB} + v_{BC}}{1 + v_{AB}v_{BC}/c^{2}}

• Dopplereffekt for elektromagnetiske bølger:

\overline{ν} = ν (\frac{c − v}{c + v} )^{1/2}

Side 15 av 15

• Relativistisk impuls:

p = γmv

• Newtons 2. lov:

F = \frac{dp}{dt}

• Energi:

E = γmc^{2}
E_{0} = mc^{2}
E_{k} = E − E_{0}
E^{2} = (pc)^{2} + (mc^{2})^{2}

• Elastisk prosess: E, p, E_{k} og m bevart.

• Uelastisk prosess: E og p bevart.