Side 1 av 15

NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK

Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33

EKSAMEN FY1002 BØLGEFYSIKK Mandag 10. desember 2007 kl. 0900 - 1300 Norsk utgave

Hjelpemiddel: C

• K. Rottmann: Matematisk formelsamling (alle språk).

• O. Øgrim og B. E. Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk, eller C. Angell og B. E. Lian: Fysiske størrelser og enheter.

• Typegodkjend kalkulator, med tomt minne, i henhold til liste utarbeidd av NTNU. (HP30S eller liknende.)

Side 2 - 6: Oppgavene Side 7 - 15: Formelsamling

Prøva består av 6 oppgaver. Det er angitt hvor mye de ulike oppgavene i utgangspunktet vil telle under vurderinga. Vektorstørrelser angis med feite typer. Enhetsvektorer angis med hatt over symbolet.

Sensuren kommer når den er klar, seinest i begynnelsen av januar.

Side 2 av 15

OPPGAVE 1 [Teller 20%]

En masse m er festet til ei fjær med fjærkonstant k. Dempingskraften er proporsjonal med hastigheten, −bẋ. En ytre kraft F_{0} cos ωt sørger for at massen svinger fram og tilbake med vinkelfrekvens ω.

• Vis at massens bevegelse er bestemt av ligningen

ẍ + 2δẋ + ω_{0}^{2}x = A_{0} cos ωt,

og bestem derved δ, ω_{0} og A_{0}. Her er x massens utsving i forhold til likevektsposisjonen x = 0.

• Løsningen av denne ligningen oppgis å være på formen

x(t) = x_{0} sin(ωt + ϕ)

Bestem fasekonstanten ϕ og skisser denne som funksjon av vinkelfrekvensen ω, i det du antar svak demping, dvs δ ≪ ω_{0}. Oppgitt: sin(a+b) = sin a cos b+cos a sin b, cos(a+b) = cos a cos b−sin a sin b.

—————–

Den hastighetsavhengige dempekraften erstattes nå med ordinær friksjon mot et underlag med friksjonskoeffisient μ (som er like stor statisk og dynamisk), slik at det hele tiden virker en friksjonskraft μmg, motsatt rettet massens bevegelse. Her er g tyngdens akselerasjon. (Ligger massen i ro, er friksjonskraften inntil μmg, motsatt rettet øvrige krefter som forsøker å sette massen i bevegelse.) Vi skrur dessuten av den ytre kraften og studerer fri svingninger. Figuren viser eksempelvis situasjonen med x > 0 og ẋ > 0.

Posisjonen x = 0 for massen tilsvarer at fjæra verken er strukket eller presset sammen. Ved tidspunktet t = 0 trekkes massen mot høyre, til posisjonen x(0) = 2.5μmg/k, og slippes uten starthastighet.

• Vis at massens bevegelse beskrives av ligningen(e)

ξ̈+ ω^{2}ξ = 0

der vi har innført ξ = x ± μmg/k, og der fortegnet avhenger av om massen beveger seg mot høyre eller venstre. Hva blir vinkelfrekvensen ω?

• Hvor mye energi går tapt, på grunn av friksjon, i løpet av bevegelsens første halve periode, dvs fra t = 0 til t = T/2 = π/ω? Hvor mye energi går tapt mellom t = T/2 og t = T?

OPPGAVE 2 [Teller 15%]

I denne oppgaven ser vi på tyngdebølger i grenseflaten mellom luft og vann. Disse oppfyller dispersjonsrelasjonen

ω(k) = \sqrt{gk tanh(kd)}

Her er k bølgetallet, g = 9.8 m/s^{2} tyngdens akselerasjon og d vannets dybde. Anta at d = 25 cm.

• Bestem perioden til bølger med bølgelengde λ = 0.5 m.

• Bestem bølgelengden til bølger med fasehastighet v_{f} = 0.5 m/s.

• En bølgepakke har 9 tydelige bølgetopper og bølgelengde 1.0 m. Vi antar at bølgepakkens totale utstrekning tilsvarer 8.5 bølgelengder, dvs 8.5 m, og at denne ikke endrer seg nevneverdig mens vi foretar våre observasjoner. Figuren viser et øyeblikksbilde av bølgepakken:

Vi retter nå øynene mot en fast posisjon x_{0} og følger nøye med mens bølgepakken passerer. Hvor lang tid bruker bølgepakken på å passere x_{0}? Hvor mange bølgetopper ser vi passere x_{0}? Begrunn svaret. (Kommentar: En slik romlig avgrenset bølgepakke må strengt tatt ”inneholde” flere bølgelengder enn den ene på 1.0 m som det her er snakk om. Opplysningen om at bølgepakkens utstrekning ikke endrer seg, er imidlertid tilstrekkelig for å besvare spørsmålene.) Oppgitt: d(tanh x)/dx = 1/ cosh^{2} x.

OPPGAVE 3 [Teller 15%]

Monokromatisk laserlys med bølgelengde λ faller normalt inn mot et diffraksjonsgitter med N = 100 spalter. Hver spalte har bredde a, og senter-til-senter avstanden mellom spaltene er d = 8a. Lyset som passerer gjennom spaltene, treffer en skjerm som er plassert i avstand L fra spalteåpningene, og resulterer i en intensitetsfordeling I(y). I figuren er spaltenes lengderetning normalt på papirplanet:

• Innfør den dimensjonsløse størrelsen ϕ = πd sin θ/λ og skriv ned et uttrykk for intensitetsfordelingen I(ϕ). I dette uttrykket skal bare ϕ gjenstå som variabel parameter, i tillegg til prefaktoren I_{0}, som angir 1/N^{2} av intensiteten til 0. ordens hovedmaksimum, dvs I_{0} = I(ϕ = 0)/N^{2}.

• Når ϕ (og dermed θ og y) økes fra verdien 0, går I(ϕ) gjennom diverse nullpunkter og såkalte sekundære maksima. I det første sekundære maksimum har intensiteten allerede falt til ca 1/22 av I(0). Ved hvilken verdi av ϕ finner du fjerde sekundære maksimum? Hvor stor er intensiteten til fjerde sekundære maksimum (i forhold til I(0))?

• Når ϕ har blitt så stor at vi har passert 99 nullpunkter, kommer vi til 1. ordens hovedmaksimum, som har intensitet 0.95I(0). Bestem intensiteten til 4. ordens hovedmaksimum (i forhold til I(0)).

OPPGAVE 4 [Teller 20%]

En monokromatisk plan elektromagnetisk bølge faller inn mot en plan grenseflate mellom luft (medium 1) og et magnetisk og dielektrisk medium (medium 2), se figuren ovenfor. Brytningsindeksen i luft er 1. Brytningsindeksen i medium 2 er n = \sqrt{ε_{r}μ_{r}}, der ε_{r} er relativ permittivitet og μ_{r} er relativ permeabilitet.

Side 5 av 15

Dersom bølgen er polarisert normalt på innfallsplanet, vil sammenhengen mellom amplituden til reflektert bølge, E_{rn0}, og amplituden til innkommende bølge, E_{in0}, være gitt ved

E_{rn0} = \frac{α cos θ_{1} − cos θ_{2}}{α cos θ_{1} + cos θ_{2}} E_{in0}

der α ≡ \sqrt{μ_{r}/ε_{r}}.

• Den innkommende bølgen blir fullstendig transmittert dersom innfallsvinkelen θ_{1} sammenfaller med Brewsters vinkel θ_{B}. Vis at Brewsters vinkel er gitt ved

sin θ_{B} = \sqrt{\frac{n^{2}(α^{2} − 1)}{n^{2}α^{2} − 1}}

• Anta at medium 2 har relativ permittivitet ε_{r} = 1.8. Hva slags verdier er da aktuelle for mediets relative permeabilitet μ_{r} dersom Brewsters vinkel θ_{B} skal ligge mellom 0 og 90 grader for den valgte polarisasjonsretningen? (Vi antar at n > 1.)

• Hittil i denne oppgaven har vi sett på fullstendig transmisjon. La oss nå diskutere mulighetene for å oppnå total refleksjon i grenseflaten mellom luft (medium 1) og et medium med brytningsindeks n > 1 (medium 2). Bruk Snells brytningslov til å finne et kriterium for innfallsvinkelen θ_{i} som resulterer i total refleksjon. Avgjør om en innfallsvinkel på 35 grader gir total refleksjon dersom n = 1.8, både for tilfellet at innkommende bølge befinner seg i luft (medium 1) og for tilfellet at innkommende bølge befinner seg i mediet med n = 1.8 (medium 2).

OPPGAVE 5 [Teller 10%]

Vis at for en elektromagnetisk bølge i vakuum, med

E(r, t) = E_{0} sin(k · r − ωt)

og

B(r, t) = B_{0} sin(k · r − ωt)

gjelder B_{0} = E_{0}/c. Tips: Maxwells ligninger.

OPPGAVE 6 [Teller 20%]

En kuleformet masse M_{0} ligger i ro i labsystemet S. En masseløs partikkel (m = 0) (et foton) kommer inn fra venstre med impuls p_{f}.

• Bruk sammenhengene mellom (relativistisk) energi, impuls og masse til å argumentere for at fotonet må ha hastighet c, dvs lysets hastighet.

• Skriv ned fotonets energi E_{f}, den kuleformede massens energi E_{m}, og systemets totale energi E_{0} i S. (Med ”systemet” menes her fotonet og den kuleformede massen.) Skriv også ned total impuls p_{0} i S.

Fotonet og den kuleformede massen kolliderer fullstendig uelastisk, slik at fotonet absorberes. Etter kollisjonen består følgelig systemet kun av en masse M_{1} som beveger seg mot høyre med hastighet v_{1}.

• Bruk prinsippene om impuls- og energibevarelse til å bestemme v_{1} og M_{1}. Finn tilnærmede uttrykk for v_{1} og M_{1} som gjelder dersom fotonets energi E_{f} er meget liten i forhold til den kuleformede massens energi E_{m}. Er uttrykkene som forventet?

• Anta at massen etter kollisjonen fortsatt er kuleformet i sitt eget hvilesystem (dvs der den er i ro). Hva slags form har den da i S? Begrunn svaret.

Side 7 av 15

Formelsamling

Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent.

• Harmonisk plan bølge:

ξ(x, t) = ξ_{0} sin(kx − ωt + ϕ)
ξ(r, t) = ξ_{0} sin(k · r − ωt + ϕ)

• Bølgeligning:

\frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂t^{2}}

∇^{2}ξ(r, t) (≡ \frac{∂^{2}ξ}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}ξ}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}ξ}{∂z^{2}} ) = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}ξ(r, t)}{∂t^{2}}

• Fasehastighet:

v = \frac{ω}{k}

• Gruppehastighet:

v_{g} = \frac{dω}{dk}

• Generelt for ikkedispersive udempede bølger: v = \sqrt{\frac{elastisk modul}{massetetthet}}

• Generelt for lineær respons i elastiske medier: mekanisk spenning = elastisk modul × relativ tøyning

• For transversale bølger på streng:

v = \sqrt{\frac{S}{μ}}

• For longitudinale bølger i fluider:

v = \sqrt{\frac{B}{ρ}}

• For longitudinale bølger i faste stoffer:

v = \sqrt{\frac{Y}{ρ}}

Side 8 av 15

• Middelverdi av harmonisk varierende størrelse A(x, t), midlet over bølgelengde λ:

\overline{A} = \frac{∫_{0}^{λ} A(x, t) dx}{∫_{0}^{λ} dx} = \frac{1}{λ} ∫_{0}^{λ} A(x, t) dx

Middelverdi av harmonisk varierende størrelse A(x, t), midlet over periode T:

⟨A⟩ = \frac{∫_{0}^{T} A(x, t) dt}{∫_{0}^{T} dt} = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} A(x, t) dt

• Midlere energi pr lengdeenhet for harmonisk bølge på streng:

\overline{ε} = \frac{1}{2}μω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere energi pr volumenhet for harmonisk plan bølge:

\overline{ε} = \frac{1}{2}ρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere effekt transportert med harmonisk bølge på streng:

\overline{P} = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vμω^{2}ξ_{0}^{2}

• Intensitet i harmonisk plan bølge:

I = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere impulstetthet for harmonisk bølge:

\overline{π} = \frac{\overline{ε}}{v}

• Ideell gass:

pV = Nk_{B}T

• Varmekapasitet ved konstant trykk (Q = varme):

C_{p} = (\frac{dQ}{dT})_{p}

• Varmekapasitet ved konstant volum (Q = varme):

C_{V} = (\frac{dQ}{dT})_{V}

• Adiabatiske forhold (dvs ingen varmeutveksling): pV^{γ} = konstant

• Adiabatkonstanten:

γ = \frac{C_{p}}{C_{V}}

Gass med 1-atomige molekyler: γ = 5/3. Gass med 2-atomige molekyler: γ = 7/5.

• Bulkmodul for ideell gass ved adiabatiske forhold: B = γp

• Lydhastighet i gass (m = molekylmassen):

v = \sqrt{\frac{γp}{ρ}} = \sqrt{\frac{γk_{B}T}{m}}

• Lydtrykk:

Δp = −B \frac{∂ξ}{∂x}

• Lydnivå:

β(dB) = 10 log \frac{I}{I_{0}}

med I_{0} = 10^{−12} W/m^{2}

• Dopplereffekt:

ν_{O} = \frac{1 − v_{O}/v}{1 − v_{S}/v} ν_{S}

• For sjokkbølger:

sin α = \frac{v}{v_{S}}

• Transversal bølge på streng med massetetthet μ_{1} for x < 0 og μ_{2} for x > 0, innkommende bølge propagerer i positiv x-retning:

Amplitude for reflektert bølge:

y_{r0} = \frac{\sqrt{μ_{2}} − \sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0}

Amplitude for transmittert bølge:

y_{t0} = \frac{2\sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0}

Refleksjonskoeffisient:

R = \begin{matrix}\overline{P} & r \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Transmisjonskoeffisient:

T = \begin{matrix}\overline{P} & t \\ \overline{P} & i \end{matrix}

• Plan lydbølge normalt inn mot grenseflate i x = 0 mellom to medier med elastiske moduler og massetettheter henholdsvis E_{1}, ρ_{1} (for x < 0) og E_{2}, ρ_{2} (for x > 0), innkommende bølge propagerer i positiv x-retning:

Amplitude for reflektert bølge:

ξ_{r0} = \frac{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} − \sqrt{ρ_{1}E_{1}}}{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} + \sqrt{ρ_{1}E_{1}}} ξ_{i0}

Amplitude for transmittert bølge:

ξ_{t0} = \frac{2\sqrt{ρ_{1}E_{1}}}{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} + \sqrt{ρ_{1}E_{1}}} ξ_{i0}

Refleksjonskoeffisient:

R = \begin{matrix}\overline{P} & r \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Transmisjonskoeffisient:

T = \begin{matrix}\overline{P} & t \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Side 11 av 15

• Maxwells ligninger på integralform:

∮ E · dA = q/ε_{0}
∮ B · dA = 0

∮ E · dl = −\frac{d}{dt} ∫ B · dA

∮ B · dl = μ_{0}I + μ_{0}ε_{0} \frac{d}{dt} ∫ E · dA

• Maxwells ligninger på differensialform: ∇ · E = ρ/ε_{0} ∇ · B = 0

∇ × E = −\frac{∂B}{∂t}

∇ × B = μ_{0}j + μ_{0}ε_{0} \frac{∂E}{∂t}

• Lorentzkraften:

F = q (E + v × B)

• Bølgeligning for E og B i vakuum:

∇^{2}E = \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}E}{∂t^{2}}

∇^{2}B = \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}B}{∂t^{2}}

c = 1/\sqrt{ε_{0}μ_{0}}

• Energitetthet i elektromagnetisk felt:

u = u_{E} + u_{B} = \frac{1}{2}ε_{0}E^{2} + \frac{1}{2μ_{0}} B^{2}

• Intensitet i elektromagnetisk bølge:

I = cε_{0}\overline{E^{2}} = cε_{0}⟨E^{2}⟩

• Poyntings vektor:

S = \frac{1}{μ_{0}} E × B

• Impuls i elektromagnetisk bølge:

π = μ_{0}ε_{0}S

Side 12 av 15

• Elektrisk dipolmoment:

p = qd

• Magnetisk dipolmoment:

m = IA

• Midlere utstrålt effekt fra oscillerende elektrisk dipol p_{0} cos(ωt):

⟨P ⟩ = \frac{p_{0}^{2}ω^{4}}{12πε_{0}c^{3}}

• Midlere utstrålt effekt fra oscillerende magnetisk dipol m_{0} cos(ωt):

⟨P ⟩ = \frac{μ_{0}m_{0}^{2}ω^{4}}{12πc^{3}}

• Malus’ lov:

I(θ) = I_{0} cos^{2} θ

• Lineære medier:

P = ε_{0}χ_{e}E
D = ε_{0}E + P = ε_{0}(1 + χ_{e})E = ε_{0}ε_{r}E = εE
M = χ_{m}H
B = μ_{0}H + M = μ_{0}(1 + χ_{m})H = μ_{0}μ_{r}H = μH

• Maxwells ligninger etc:

∮ D · dA = q_{fri}
∮ B · dA = 0
∮ E · dl = −\frac{d}{dt} ∫ B · dA
∮ H · dl = I_{fri} + \frac{d}{dt} ∫ D · dA
∇ · D = ρ_{fri}
∇ · B = 0
∇ × E = −\frac{∂B}{∂t}
∇ × H = j_{fri} + \frac{∂D}{∂t}

• Energitetthet, Poyntings vektor:

u = \frac{1}{2}εE^{2} + \frac{1}{2μ}B^{2}
S = \frac{1}{μ}E × B

Side 13 av 15

• For elektromagnetiske bølger i medier (q_{fri} = I_{fri} = 0):

∇^{2}E = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}E}{∂t^{2}}
∇^{2}B = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}B}{∂t^{2}}
v = \frac{1}{\sqrt{εμ}} = \frac{c}{\sqrt{ε_{r}μ_{r}}} = \frac{c}{n}

• Grenseflatebetingelser (q_{fri} = I_{fri} = 0 i grenseflaten):

ΔD_{⊥} = 0
ΔE_{∥} = 0
ΔB_{⊥} = 0
ΔH_{∥} = 0

• Refleksjon og brytning:

θ_{r} = θ_{i}
n_{1} sin θ_{i} = n_{2} sin θ_{t}

• Youngs eksperiment med to smale spalter:

I(θ) = 4I_{0} cos^{2} (\frac{πd}{λ} sin θ)

• Diffraksjonsgitter med N smale spalter:

I(θ) = I_{0} sin^{2} (\frac{Nπd}{λ} sin θ) ; sin^{2} (\frac{πd}{λ} sin θ)

• Diffraksjon fra en spalte:

I(θ) = I(0) \begin{matrix}sin & 2 & (\frac{πa}{λ} sin θ) \\ (\frac{πa}{λ} sin θ) & 2 \end{matrix}

• Diffraksjon fra N spalter med bredde a:

I(θ) = I_{0} sin^{2} (\frac{πa}{λ} sin θ) ; (\frac{πa}{λ} sin θ)^{2} sin^{2} (\frac{Nπd}{λ} sin θ) ; sin^{2} (\frac{πd}{λ} sin θ)

Side 14 av 15

• Lorentzfaktor:

γ = (1 − v^{2}/c^{2})^{−1/2}

• Lorentztransformasjonene (\overline{S} har hastighet v = vx̂ i forhold til S):

\overline{x} = γ (x − vt)
\overline{y} = y
\overline{z} = z
\overline{t} = γ (t − \frac{v}{c^{2}} x)
x = γ (\overline{x} + v\overline{t})
y = \overline{y}
z = \overline{z}
t = γ (\overline{t} + \frac{v}{c^{2}} \overline{x})

• Tidsdilatasjon:

Δt = γΔ\overline{t}

• Lengdekontraksjon:

Δ\overline{x} = γΔx

• Hastighet i S (u = u_{x}x̂ + u_{y}ŷ + u_{z}ẑ):

u_{x} = dx/dt
u_{y} = dy/dt
u_{z} = dz/dt

Hastighet i \overline{S} (\overline{u} = \overline{u}_{x}x̂ + \overline{u}_{y}ŷ + \overline{u}_{z}ẑ):

\overline{u}_{x} = d\overline{x}/d\overline{t}
\overline{u}_{y} = d\overline{y}/d\overline{t}
\overline{u}_{z} = d\overline{z}/d\overline{t}

• Addisjon av hastigheter (alle hastigheter i samme retning):

v_{AC} = \frac{v_{AB} + v_{BC}}{1 + v_{AB}v_{BC}/c^{2}}

• Dopplereffekt for elektromagnetiske bølger:

\overline{ν} = ν (\frac{c − v}{c + v} )^{1/2}

Side 15 av 15

• Relativistisk impuls:

p = γmv

• Newtons 2. lov:

F = \frac{dp}{dt}

• Energi:

E = γmc^{2}
E_{0} = mc^{2}
E_{k} = E − E_{0}
E^{2} = (pc)^{2} + (mc^{2})^{2}

• Elastisk prosess: E, p, E_{k} og m bevart.

• Uelastisk prosess: E og p bevart.