Side 1 av 15

NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK

Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33

KONTINUASJONSEKSAMEN TFY4160 BØLGEFYSIKK Torsdag 9. august 2007 kl. 0900 - 1300

Hjelpemiddel: C

• K. Rottmann: Matematisk formelsamling (alle språk).

• O. Øgrim og B. E. Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk, eller C. Angell og B. E. Lian: Fysiske størrelser og enheter.

• Typegodkjend kalkulator, med tomt minne, i henhold til liste utarbeidd av NTNU. (HP30S eller liknende.)

Vedlegg A: Oppgavene (Side 2 - 6). Vedlegg B: Formelsamling (Side 7 - 15).

Prøva består av 5 oppgaver som vil telle like mye under vurderinga. Vektorstørrelser angis med feite typer. Enhetsvektorer angis med hatt over symbolet.

Sensuren kommer i løpet av august.

Side 2 av 15

Vedlegg A: Oppgavene

OPPGAVE 1 [Teller 20%]

En masse m er festet til en fjær med fjærkonstant k. Dempingskraften er proporsjonal med hastigheten, −bẋ.

Vis at massens bevegelse er bestemt av ligningen

mẍ + bẋ + kx = 0

der x representerer massens utsving i forhold til likevektsposisjonen x = 0. Vi betrakter svakt dempede svingninger, dvs b ≪ 2mω_{0}, der ω_{0} ≡ \sqrt{k/m}. Vis (ved innsetting) at et utsving med tidsavhengighet

x(t) = Ae^{−t/τ} cos(ωt + ϕ)

er løsning av bevegelsesligningen, og fastlegg således ”dempingstiden” τ og vinkelfrekvensen ω. Du vil gjerne at dempingen skal være så liten at systemets (mekaniske) energi ikke reduseres med mer enn 1% i løpet av 50 perioder av svingningen. Hva blir da øvre grense b_{max} for dempingskoeffisienten dersom m = 0.25 kg og k = 400 N/m.

OPPGAVE 2 [Teller 20%]

En oscillerende elektrisk dipol,

p(t) = ẑp_{0} cos ωt,

resulterer i et elektrisk felt,

E(r, t) = −\frac{μ_{0}p_{0}ω^{2} sin θ}{4πr} cos[ω(t − r/c)] θ̂,

og et magnetfelt,

B(r, t) = −\frac{μ_{0}p_{0}ω^{2} sin θ}{4πcr} cos[ω(t − r/c)] ϕ̂.

Begge disse er tilnærmede uttrykk som gjelder så lenge vi er langt unna dipolen, samt at bølgelengden er stor i forhold til dipolens utstrekning. Videre er θ vinkelen mellom z-aksen og r, mens θ̂ og ϕ̂ er enhetsvektorer som peker i retning av økende verdi av henholdsvis θ og ϕ. (Med andre ord, r, θ og ϕ er standard kulekoordinater, se figuren ovenfor.)

Bestem Poyntings vektor S(r, t), og deretter strålingsintensiteten

I(r) = ⟨S(r, t)⟩

Skisser I(θ) (for gitt r og ϕ) mellom θ = 0 og θ = π. Skisser også I(ϕ) (for gitt r og θ) mellom ϕ = 0 og ϕ = 2π.

Vis at total (midlere) utstrålt energi pr tidsenhet (dvs effekt) blir

⟨P ⟩ = \frac{μ_{0}p_{0}^{2}ω^{4}}{12πc}

(Tips: Integrer ⟨S⟩ over en kuleflate med radius r.)

Diskuter kort fenomenene blå himmel og rød solnedgang i lys av dette resultatet.

Oppgitt:

sin^{3} θ = −\frac{1}{4} (sin 3θ − 3 sin θ)
dA = r^{2} sin θ dθ dϕ

OPPGAVE 3 [Teller 20%]

En høyttaler S_{1} genererer en halvkuleformet lydbølge med frekvens ν_{1} = 440 Hz. Midlere utstrålt effekt er P_{1} = 1.0 W, og intensiteten er uniform over halvkulen. (Se figur over, til venstre.) Du befinner deg i avstand 4 m fra høyttaleren. Hvor stor er lydintensiteten I_{1} der? Hvor mange dB (desibel) tilsvarer dette?

To slike høyttalere, S_{1} og S_{2}, genererer halvkuleformede lydbølger med frekvens henholdsvis ν_{1} = 440 Hz og ν_{2} = 441 Hz. (Se figur over, til høyre.) Utstrålt effekt er den samme for de to høyttalerne. Du befinner deg rett foran høyttalerne, i avstand d. Anta at d er stor i forhold til avstanden a mellom de to høyttalerne. Lydbølgene er da tilnærmet plane bølger der du står (i x = d), slik at de tilhørende (longitudinale) partikkelutsvingene kan skrives på formen ξ_{j}(x, t) = ξ_{0} sin(k_{j}x − ω_{j}t) (j = 1, 2). Finn et uttrykk for intensiteten I(d, t). Skisser noen sekunders forløp av I(d, t). Forklar hva du hører.

Anta nå at de to høyttalerne genererer identiske lydbølger (samme intensitet og fase) med frekvens ν = 3400 Hz. Avstanden mellom høyttalerne er a = 30 cm, og du kan bevege deg langs en linje i avstand d = 10 m fra høyttalerne. Hva er lydbølgens bølgelengde λ? Hvor langt må du flytte deg (mot høyre, evt venstre, i figuren) for at lyden skal forsvinne?

Oppgitt: I(x, t) ∼ |ξ(x, t)|^{2}. Lydhastigheten i luft: 340 m/s. sin α + sin β = 2 sin[(α + β)/2] cos[(α − β)/2] OPPGAVE 4 [Teller 20%]

Figuren over viser en del av en uendelig lang masse-fjær-transmisjonslinje, bestående av identiske masser m forbundet med identiske masseløse fjærer med fjærkonstant k. Øverst i figuren er systemet i likevekt, med massene lokalisert i posisjoner x + nd (n = 0, ±1, ±2, …). Nederst i figuren er systemet ikke i likevekt, eksempelvis kan det være en (longitudinal) harmonisk bølge som forplanter seg langs transmisjonslinjen. En masses utsving i forhold til likevektsposisjonen angis med ξ, som dermed avhenger både av x og t.

Anvend Newtons 2. lov på massen med likevektsposisjon x og utsving ξ(x, t) og vis at utsvinget ξ oppfyller bølgeligningen

\frac{∂^{2}ξ}{∂t^{2}} = v^{2} \frac{∂^{2}ξ}{∂x^{2}}

dersom vi antar at funksjonen ξ(x, t) varierer langsomt (som funksjon av x) mellom to nabomasser (dvs d ≪ λ, der λ er bølgelengden). Hva blir bølgehastigheten v?

Anta nå at en harmonisk bølge

ξ(x, t) = ξ_{0} sin(kx − ωt)

forplanter seg langs transmisjonslinjen. Vi skal se nærmere på energien som transporteres med en slik bølge. Bestem kinetisk energi E_{k} pr masse og potensiell energi E_{p} pr fjær. Vis at disse er like store, E_{k} = E_{p}, og at den totale energien pr lengdeenhet blir

ε = \frac{E}{d} = μω^{2}ξ_{0}^{2} cos^{2}(kx − ωt)

der μ = m/d er transmisjonslinjens masse pr lengdeenhet. (Tips: Regn ut E_{p} til ledende orden i (den lille) størrelsen kd.) Hvor mye energi passerer i middel (dvs midlet over en periode) et gitt sted på transmisjonslinjen pr tidsenhet?

Oppgitt:

ξ(x ± d, t) = ξ(x, t) ± d \frac{∂ξ(x, t)}{∂x} + \frac{1}{2}d^{2} \frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂x^{2}} + …

OPPGAVE 5 [Teller 20%]

En stjerne beveger seg med hastighet v over himmelen, med en retning slik at vinkelen mellom v og synslinjen (fra stjernen ned til jorda) er θ (se figuren ovenfor). Når stjernen befinner seg i posisjon (x_{1}, y_{1}), sender den ut lys som detekteres på jorda, i posisjon (x_{1}, 0), ved tidspunktet t_{1}. Tilsvarende, når stjernen befinner seg i posisjon (x_{2}, y_{2}), sender den ut lys som detekteres på jorda, i posisjon (x_{2}, 0), ved tidspunktet t_{2}. Den skjødesløse observatør kunne nå komme i skade for å hevde at stjernen beveger seg med hastighet

u = \frac{x_{2} − x_{1}}{t_{2} − t_{1}} = \frac{Δx}{Δt},

men som fysiker innser du raskt at dette bare ville være en tilsynelatende hastighet, ettersom Δx ikke nødvendigvis tilsvarer avstanden som stjernen har beveget seg i løpet av tiden Δt. Den skjødesløse fysiker kunne videre komme i skade for å hevde at stjernens hastighet v alltid må være større enn u, ettersom tilbakelagt reise Δs alltid vil være større enn Δx (med mindre θ = π/2, da er selvsagt Δs = Δx). Som den påpasselige fysiker du er, innser du imidlertid at stjernen befant seg i posisjonene (x_{1}, y_{1}) og (x_{2}, y_{2}) henholdvis ved tidspunktene t′_{1} og t′_{2}, og at tidsforbruket Δt′ = t′_{2} − t′_{1} ikke nødvendigvis er det samme som Δt. Du bestemmer deg derfor for å tenke saken nøyere gjennom før du uttaler deg om sammenhengen mellom stjernens hastighet v = Δs/Δt′ og dens tilsynelatende hastighet u. Etter en grundig analyse har du kommet fram til sammenhengen

u = \frac{v sin θ}{1 − (v/c) cos θ}

Vis hvordan du kom fram til dette resultatet! For en gitt hastighet v vil det være en bestemt vinkel θ_{max} som gir maksimal tilsynelatende hastighet u. Bestem denne vinkelen θ_{max}. Finn et uttrykk for u når vinkelen er θ_{max} og vis at u da alltid vil overstige v. For hvilke verdier av v vil nå u også overstige lyshastigheten c?

Tips: Alle tidspunkter og posisjoner (”hendelser”) i denne oppgaven måles i jordas referansesystem (som her betraktes som et inertialsystem).

Side 7 av 15

Vedlegg B: Formelsamling

Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent.

• Harmonisk plan bølge:

ξ(x, t) = ξ_{0} sin(kx − ωt + ϕ)
ξ(r, t) = ξ_{0} sin(k · r − ωt + ϕ)

• Bølgeligning:

\frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂t^{2}}

∇^{2}ξ(r, t) (≡ \frac{∂^{2}ξ}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}ξ}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}ξ}{∂z^{2}} ) = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}ξ(r, t)}{∂t^{2}}

• Fasehastighet:

v = \frac{ω}{k}

• Gruppehastighet:

v_{g} = \frac{dω}{dk}

• Generelt for ikkedispersive udempede bølger: v = \sqrt{\frac{elastisk modul}{massetetthet}}

• Generelt for lineær respons i elastiske medier: mekanisk spenning = elastisk modul × relativ tøyning

• For transversale bølger på streng:

v = \sqrt{\frac{S}{μ}}

• For longitudinale bølger i fluider:

v = \sqrt{\frac{B}{ρ}}

• For longitudinale bølger i faste stoffer:

v = \sqrt{\frac{Y}{ρ}}

Side 8 av 15

• Middelverdi av harmonisk varierende størrelse A(x, t), midlet over bølgelengde λ:

\overline{A} = \frac{∫_{0}^{λ} A(x, t) dx}{∫_{0}^{λ} dx} = \frac{1}{λ} ∫_{0}^{λ} A(x, t) dx

Middelverdi av harmonisk varierende størrelse A(x, t), midlet over periode T:

⟨A⟩ = \frac{∫_{0}^{T} A(x, t) dt}{∫_{0}^{T} dt} = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} A(x, t) dt

• Midlere energi pr lengdeenhet for harmonisk bølge på streng:

\overline{ε} = \frac{1}{2}μω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere energi pr volumenhet for harmonisk plan bølge:

\overline{ε} = \frac{1}{2}ρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere effekt transportert med harmonisk bølge på streng:

\overline{P} = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vμω^{2}ξ_{0}^{2}

• Intensitet i harmonisk plan bølge:

I = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere impulstetthet for harmonisk bølge:

\overline{π} = \frac{\overline{ε}}{v}

• Ideell gass:

pV = Nk_{B}T

• Varmekapasitet ved konstant trykk (Q = varme):

C_{p} = (\frac{dQ}{dT})_{p}

• Varmekapasitet ved konstant volum (Q = varme):

C_{V} = (\frac{dQ}{dT})_{V}

• Adiabatiske forhold (dvs ingen varmeutveksling): pV^{γ} = konstant

• Adiabatkonstanten:

γ = \frac{C_{p}}{C_{V}}

Gass med 1-atomige molekyler: γ = 5/3. Gass med 2-atomige molekyler: γ = 7/5.

• Bulkmodul for ideell gass ved adiabatiske forhold: B = γp

• Lydhastighet i gass (m = molekylmassen):

v = \sqrt{\frac{γp}{ρ}} = \sqrt{\frac{γk_{B}T}{m}}

• Lydtrykk:

Δp = −B \frac{∂ξ}{∂x}

• Lydnivå:

β(dB) = 10 log \frac{I}{I_{0}}

med I_{0} = 10^{−12} W/m^{2}

• Dopplereffekt:

ν_{O} = \frac{1 − v_{O}/v}{1 − v_{S}/v} ν_{S}

• For sjokkbølger:

sin α = \frac{v}{v_{S}}

• Transversal bølge på streng med massetetthet μ_{1} for x < 0 og μ_{2} for x > 0, innkommende bølge propagerer i positiv x-retning:

Amplitude for reflektert bølge:

y_{r0} = \frac{\sqrt{μ_{2}} − \sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0}

Amplitude for transmittert bølge:

y_{t0} = \frac{2\sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0}

Refleksjonskoeffisient:

R = \begin{matrix}\overline{P} & r \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Transmisjonskoeffisient:

T = \begin{matrix}\overline{P} & t \\ \overline{P} & i \end{matrix}

• Plan lydbølge normalt inn mot grenseflate i x = 0 mellom to medier med elastiske moduler og massetettheter henholdsvis E_{1}, ρ_{1} (for x < 0) og E_{2}, ρ_{2} (for x > 0), innkommende bølge propagerer i positiv x-retning:

Amplitude for reflektert bølge:

ξ_{r0} = \frac{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} − \sqrt{ρ_{1}E_{1}}}{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} + \sqrt{ρ_{1}E_{1}}} ξ_{i0}

Amplitude for transmittert bølge:

ξ_{t0} = \frac{2\sqrt{ρ_{1}E_{1}}}{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} + \sqrt{ρ_{1}E_{1}}} ξ_{i0}

Refleksjonskoeffisient:

R = \begin{matrix}\overline{P} & r \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Transmisjonskoeffisient:

T = \begin{matrix}\overline{P} & t \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Side 11 av 15

• Maxwells ligninger på integralform:

∮ E · dA = q/ε_{0}
∮ B · dA = 0

∮ E · dl = −\frac{d}{dt} ∫ B · dA

∮ B · dl = μ_{0}I + μ_{0}ε_{0} \frac{d}{dt} ∫ E · dA

• Maxwells ligninger på differensialform: ∇ · E = ρ/ε_{0} ∇ · B = 0

∇ × E = −\frac{∂B}{∂t}

∇ × B = μ_{0}j + μ_{0}ε_{0} \frac{∂E}{∂t}

• Lorentzkraften:

F = q (E + v × B)

• Bølgeligning for E og B i vakuum:

∇^{2}E = \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}E}{∂t^{2}}

∇^{2}B = \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}B}{∂t^{2}}

c = 1/\sqrt{ε_{0}μ_{0}}

• Energitetthet i elektromagnetisk felt:

u = u_{E} + u_{B} = \frac{1}{2}ε_{0}E^{2} + \frac{1}{2μ_{0}} B^{2}

• Intensitet i elektromagnetisk bølge:

I = cε_{0}\overline{E^{2}} = cε_{0}⟨E^{2}⟩

• Poyntings vektor:

S = \frac{1}{μ_{0}} E × B

• Impuls i elektromagnetisk bølge:

π = μ_{0}ε_{0}S

Side 12 av 15

• Elektrisk dipolmoment:

p = qd

• Magnetisk dipolmoment:

m = IA

• Midlere utstrålt effekt fra oscillerende elektrisk dipol p_{0} cos(ωt):

⟨P ⟩ = \frac{p_{0}^{2}ω^{4}}{12πε_{0}c^{3}}

• Midlere utstrålt effekt fra oscillerende magnetisk dipol m_{0} cos(ωt):

⟨P ⟩ = \frac{μ_{0}m_{0}^{2}ω^{4}}{12πc^{3}}

• Malus’ lov:

I(θ) = I_{0} cos^{2} θ

• Lineære medier:

P = ε_{0}χ_{e}E
D = ε_{0}E + P = ε_{0}(1 + χ_{e})E = ε_{0}ε_{r}E = εE
M = χ_{m}H
B = μ_{0}H + M = μ_{0}(1 + χ_{m})H = μ_{0}μ_{r}H = μH
∮ D · dA = q_{fri}
∮ B · dA = 0
∮ E · dl = −\frac{d}{dt} ∫ B · dA
∮ H · dl = I_{fri} + \frac{d}{dt} ∫ D · dA
∇ · D = ρ_{fri}
∇ · B = 0
∇ × E = −\frac{∂B}{∂t}
∇ × H = j_{fri} + \frac{∂D}{∂t}
u = \frac{1}{2}εE^{2} + \frac{1}{2μ}B^{2}
S = \frac{1}{μ}E × B

Side 13 av 15

• For elektromagnetiske bølger i medier (q_{fri} = I_{fri} = 0):

∇^{2}E = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}E}{∂t^{2}}
∇^{2}B = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}B}{∂t^{2}}
v = \frac{1}{\sqrt{εμ}} = \frac{c}{\sqrt{ε_{r}μ_{r}}} = \frac{c}{n}

• Grenseflatebetingelser (q_{fri} = I_{fri} = 0 i grenseflaten):

ΔD_{⊥} = 0
ΔE_{∥} = 0
ΔB_{⊥} = 0
ΔH_{∥} = 0

• Refleksjon og brytning:

θ_{r} = θ_{i}
n_{1} sin θ_{i} = n_{2} sin θ_{t}

• Youngs eksperiment med to smale spalter:

I(θ) = 4I_{0} cos^{2} (\frac{πd}{λ} sin θ)

• Diffraksjonsgitter med N smale spalter:

I(θ) = I_{0} sin^{2} (\frac{Nπd}{λ} sin θ) ; sin^{2} (\frac{πd}{λ} sin θ)

• Diffraksjon fra en spalte:

I(θ) = I(0) \begin{matrix}sin & 2 & (\frac{πa}{λ} sin θ) \\ (\frac{πa}{λ} sin θ) & 2 \end{matrix}

Side 14 av 15

• Lorentzfaktor:

γ = (1 − v^{2}/c^{2})^{−1/2}

• Lorentztransformasjonene (\overline{S} har hastighet v = vx̂ i forhold til S):

\overline{x} = γ (x − vt)
\overline{y} = y
\overline{z} = z
\overline{t} = γ (t − \frac{v}{c^{2}} x)
x = γ (\overline{x} + v\overline{t})
y = \overline{y}
z = \overline{z}
t = γ (\overline{t} + \frac{v}{c^{2}} \overline{x})

• Tidsdilatasjon:

Δt = γΔ\overline{t}

• Lengdekontraksjon:

Δ\overline{x} = γΔx

• Hastighet i S (u = u_{x}x̂ + u_{y}ŷ + u_{z}ẑ):

u_{x} = dx/dt
u_{y} = dy/dt
u_{z} = dz/dt

Hastighet i \overline{S} (\overline{u} = \overline{u}_{x}x̂ + \overline{u}_{y}ŷ + \overline{u}_{z}ẑ):

\overline{u}_{x} = d\overline{x}/d\overline{t}
\overline{u}_{y} = d\overline{y}/d\overline{t}
\overline{u}_{z} = d\overline{z}/d\overline{t}

• Addisjon av hastigheter (alle hastigheter i samme retning):

v_{AC} = \frac{v_{AB} + v_{BC}}{1 + v_{AB}v_{BC}/c^{2}}

• Dopplereffekt for elektromagnetiske bølger:

\overline{ν} = ν (\frac{c − v}{c + v} )^{1/2}

Side 15 av 15

• Relativistisk impuls:

p = γmv

• Newtons 2. lov:

F = \frac{dp}{dt}

• Energi:

E = γmc^{2}
E_{0} = mc^{2}
E_{k} = E − E_{0}
E^{2} = (pc)^{2} + (mc^{2})^{2}

• Elastisk prosess: E, p, E_{k} og m bevart.

• Uelastisk prosess: E og p bevart.