Institutt for fysikk, NTNU FY1002/TFY4160 Bølgefysikk Høst 2006

Midtsemesterprøve Bølgefysikk Tirsdag 31. oktober 2006 kl 1615 – 1800.

Løsningsforslag

Tillatte hjelpemidler: C

• K. Rottmann: Matematisk formelsamling. (Eller tilsvarende.)

• O. Øgrim og B. E. Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk eller B. E. Lian og C. Angell: Fysiske størrelser og enheter.

• Typegodkjent kalkulator, med tomt minne, i henhold til liste utarbeidet av NTNU. (HP30S eller lignende.)

• Formelsamling i bølgefysikk er inkludert på baksiden av dette arket.

Opplysninger:

• Prøven består av 25 oppgaver. Hver oppgave har ett riktig og tre gale svaralternativ.

• Du skal krysse av for ett svaralternativ på hver oppgave. Avkryssing for mer enn ett alternativ eller ingen alternativ betraktes som feil svar og gir i begge tilfelle null poeng.

• Noen verdier: Tyngdens akselerasjon: g = 9.8 m/s^{2}, Lyshastigheten i vakuum: c = 3 · 10^{8} m/s, Boltzmanns konstant: k_{B} = 1.38 · 10^{−23} J/K, Avogadros tall: N_{A} = 6 · 10^{23}, Protonmassen: m_{p} = 1.67 · 10^{−27} kg.

• Symboler angis i kursiv (f.eks m for masse) mens enheter angis uten kursiv (f.eks m for meter). Vektorer angis med fete symboler. Enhetsvektorer angis med hatt over.

• SI-prefikser: G (giga) = 10^{9}, M (mega) = 10^{6}, k (kilo) = 10^{3}, c (centi) = 10^{−2}, m (milli) = 10^{−3}, μ (mikro) = 10^{−6}, n (nano) = 10^{−9}, p (piko) = 10^{−12}.

• Trigonometriske relasjoner:

A sin(α − β) + B sin(α + β) = (A + B) sin α cos β − (A − B) cos α sin β

Oppgaver

1) En kloss er festet til ei fjær og utfører udempede harmoniske svingninger med vinkelfrekvens ω. Ved et bestemt tidspunkt er fjæra strukket en lengde x_{0} og klossens hastighet er da null. Hva er klossens maksimale hastighet?

A ωx_{0}

Kan løses på flere måter, f.eks. ved energibetraktning: Total energi ved angitt tidspunkt:

E = \frac{1}{2}kx_{0}^{2} = \frac{1}{2}mω^{2}x_{0}^{2}

Når klossen passerer likevektsposisjonen, er potensiell energi lik null, og dermed

E = \frac{1}{2}mv_{max}^{2}

som gir

v_{max}^{2} = ω^{2}x_{0}^{2}

2) En kloss med masse m er festet til ei fjær med fjærkonstant k og utfører dempede svingninger. Friksjonskraften er b · v, der v er klossens hastighet og b er en dempingskonstant. Dersom vi har svak demping, vil klossen svinge fram og tilbake med periode

T = \frac{2π}{\sqrt{k/m − b^{2}/4m^{2}}}

Hva blir da svingeperioden for kondensatorladningen q (og strømmen I) i en elektrisk krets bestående av en motstand R, en kapasitans C og en induktans L koblet i serie? Oppgitt:

L\frac{dI}{dt} + RI + \frac{q}{C} = 0

I = \frac{dq}{dt}

D T = (4πL/R)/\sqrt{L/CR^{2} − 1}

Den oppgitte ligningen,

L\frac{d^{2}q}{dt^{2}} + R\frac{dq}{dt} + \frac{1}{C} q = 0

er på eksakt samme form som bevegelsesligningen for klossen,

m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + b\frac{dx}{dt} + kx = 0

Følgelig er m og L, b og R, og k og 1/C analoge størrelser i de to systemene, slik at svingeperioden må bli T = 2π/\sqrt{1/LC − R^{2}/4L^{2}} = (4πL/R)/\sqrt{L/CR^{2} − 1}.

Figur 1:

Figur 1 gjelder oppgavene 3-8 og viser to øyeblikksbilder av (en del av) en harmonisk transversal bølge som forplanter seg i positiv x-retning på en streng.

3) Hva er bølgens amplitude?

B 30 cm

4) Hva er bølgens bølgelengde?

D 40 m

5) Hva er bølgehastigheten?

C 20 m/s

v = \frac{Δx}{Δt} = \frac{10 m}{0.5 s} = 20 m/s

Den kunne forsåvidt også ha vært f.eks. 50 m/0.5 s = 100 m/s ut fra figuren, men dette var jo ikke noe svaralternativ.

6) Hva er frekvensen?

A 0.5 Hz

ν = \frac{v}{λ} = \frac{20 m/s}{40 m} = 0.5 Hz

7) Hva er strengelementenes maksimale hastighet?

D 94 cm/s

y = y_{0} sin(kx − ωt)
⇒ ẏ = −ωy_{0} cos(kx − ωt)
⇒ ẏ_{max} = ωy_{0} = 2π · 0.5 · 30 ≃ 94 cm/s

8) Bølgen kan beskrives ved funksjonen y_{0} sin(kx − ωt − ϕ). Hva er da fasekonstanten ϕ?

A ϕ = 0

Vi ser fra figuren at

y(0, 0) = 0 = −y_{0} sin ϕ ⇒ ϕ = 0

9) Hva er lydhastigheten i hydrogengass (H_{2}) ved romtemperatur (300 K)? Et hydrogenatom har ett proton i kjernen (og ingen nøytroner).

C 1317 m/s

Fra formelsamlingen:

v = \sqrt{\frac{γk_{B}T}{m}} = \sqrt{\frac{1.4 · 1.38 · 10^{−23} · 300}{2 · 1.67 · 10^{−27}}} ≃ 1317 m/s

10) En sommerdag synker plutselig temperaturen fra 300 K til 298 K. Hvor mye endres da lydhastigheten i lufta?

B -0.3 %

v = \sqrt{\frac{γk_{B}T}{m}} = a · T^{1/2}
⇒ Δv = a · \frac{1}{2}T^{−1/2} · ΔT = v · \frac{1}{2} \frac{ΔT}{T}
⇒ \frac{Δv}{v} = \frac{1}{2} \frac{ΔT}{T} = \frac{−2}{2 · 300} = \frac{−1}{300} = −0.3%

11) En liten høyttaler sender ut lydbølger med like stor intensitet i alle retninger. Dersom du måler et intensitetsnivå på 80 dB i en avstand 40 m fra høyttaleren, hva er da intensitetsnivået 5 m fra høyttaleren?

A 98 dB

I = \frac{P}{A} ∼ \frac{1}{r^{2}}
⇒ \frac{I(5)}{I(40)} = (\frac{40}{5})^{2} = 64
80 = 10 log \frac{I(40)}{I_{0}}
⇒ I(40) = I_{0}10^{8}
⇒ I(5) = 64I_{0}10^{8}
⇒ β = 10 log \frac{64I_{0}10^{8}}{I_{0}} = 80 + 10 log 64 = 80 + 18 = 98 dB

12) Den plane bølgen ξ(r, t) = ξ_{0} sin(k · r − ωt + ϕ) forplanter seg

B i samme retning som k.

13) Bølgen

D(x, t) = D_{0}ŷsin(kx − ωt) + 3D_{0}ẑsin(kx − ωt)

er

D elliptiskpolarisert.

Vi ser at y-komponenten av D(x, t) er 90 grader forskjøvet i forhold til z-komponenten av D(x, t) for alle posisjoner x og tider t. Dessuten er amplituden i z-retning tre ganger så stor som i y-retning. Følgelig er bølgen elliptisk polarisert.

14) En gitarstreng med lengde 75 cm er festet i begge ender. Strekket i strengen er 150 N og massen er 7.2 g. Hva er frekvensen til strengens 2. harmoniske (dvs 2. laveste egenfrekvens)?

D 167 Hz

Grunntonen har bølgelengde λ_{1} = 2L, 2. harmoniske λ_{2} = L og 3. harmoniske λ_{3} = 2L/3. Bølgehastigheten på strengen er

v = \sqrt{\frac{S}{μ}} = \sqrt{\frac{S · L}{m}} = \sqrt{\frac{150 · 0.75}{0.0072}} = 125 m/s

Frekvensen til 2. harmoniske blir dermed

ν_{2} = \frac{v}{λ_{2}} = \frac{v}{L} ≃ 167 Hz

15) To biler kjører rett fra hverandre, bil nr 1 med hastighet 50 m/s og bil nr 2 med hastighet 5 m/s. Begge bilene er utstyrt med en sirene som genererer en harmonisk lydbølge med frekvens 500 Hz. Det er vindstille, og været er ellers slik at lydhastigheten denne dagen er v = 340 m/s. Hvilken frekvens ν_{1} måler bil nr 1 fra sirenen i bil nr 2, og hvilken frekvens ν_{2} måler bil nr 2 fra sirenen i bil nr 1?

B ν_{1} = 420 Hz og ν_{2} = 429 Hz

Med bil nr 1 som observatør og sirenen i bil nr 2 som kilde:

ν_{1} = \frac{1 − 50/340}{1 + 5/340} · 500 Hz = 420 Hz

Med bil nr 2 som observatør og sirenen i bil nr 1 som kilde:

ν_{2} = \frac{1 − 5/340}{1 + 50/340} · 500 Hz = 429 Hz

16) En høyttaler med masse 0.3 kg er festet til ei tilnærmet masseløs fjær med fjærkonstant 3.0 N/m. Høyttaleren svinger harmonisk med amplitude 0.15 m og sender samtidig ut en tone på 800 Hz. Hvis du står rett foran høyttaleren, vil du høre små variasjoner i tonens frekvens. Hva er forskjellen mellom største og minste frekvens du hører? Lydhastigheten er 340 m/s.

B 2.2 Hz

ω = \sqrt{s/m} = \sqrt{10} = 3.16 Hz
⇒ v_{max} = ±3.16 · 0.15 = ±0.474 m/s

⇒ ν = \frac{340 · 800}{340 ± 0.474}

som er hhv 801.1 Hz og 798.9 Hz, slik at forskjellen mellom minste og største frekvens blir 2.2 Hz.

17) Et uvær i Nordsjøen genererer østgående dønninger med bølgelengde 200 m. Bølgene beskrives av dispersjonsrelasjonen ω(k) = \sqrt{gk}, der g er tyngdens akselerasjon og k er bølgetallet. Hvor lang tid tar det før dønningene når fram til Røst, 50 km lenger øst?

D ca π/2 timer

Bølgetoget går østover med hastighet lik gruppehastigheten:

v_{g} = \frac{dω}{dk} = \sqrt{\frac{g}{4k}} = \sqrt{\frac{gλ}{8π}} ≃ 8.83 m/s

For å tilbakelegge distansen 50000 m bruker bølgene dermed en tid

t = \frac{50000}{8.83} s ≃ 5662 s ≃ 1.57 timer ≃ π/2 timer

18) Sjokkbølgen fra et jagerfly som flyr horisontalt treffer deg 4.4 s etter at flyet passerte rett over deg. Lydhastigheten er 340 m/s, og flyets hastighet er 2.3 ganger så stor (dvs machtall = 2.3). I hvilken høyde flyr flyet?

B ca 1.7 km

Når sjokkbølgen treffer deg, danner linjen mellom deg og flyet en vinkel α gitt ved sin α = v/v_{s} = 1/2.3, dvs α ≃ 25.77^{∘}. På denne tiden (dvs t = 4.4 s) har flyet tilbakelagt avstanden v_{s}t = 2.3vt slik at tan α = h/2.3vt, dvs

h = 2.3vt tan α ≃ 2.3 · 340 · 4.4 · tan 25.77^{∘} ≃ 1.7 km

19) Et langt, tynt rør som er åpent i den ene enden og lukket i den andre skal brukes til å lage stående lydbølger med frekvens 250 Hz. Dette skal være rørets laveste resonansfrekvens (grunntonen). Hvor langt må da røret være? Lydhastigheten er 340 m/s.

A 34 cm

Grensebetingelsene som bestemmer bølgelengden til mulige stående bølger i et slik rør er at utsvinget ξ skal ha et knutepunkt i eventuelle lukkede ender og en buk i eventuelle åpne ender. (Alternativt: Trykkbølgen har knutepunkt i åpen ende og buk i lukket ende.) Uansett hvordan vi ønsker å tenke, finner vi at grunntonen tilsvarer en kvart bølgelengde inne i røret, dvs λ_{1} = 4L. Dermed:

λ_{1} = 4L = \frac{v}{ν_{1}} = \frac{340}{250}
⇒ L = \frac{340}{1000} m = 34 cm

20) Hva blir tredje laveste resonansfrekvens i røret i oppgave 19?

D 1250 Hz

Nest laveste resonansfrekvens i et slik rør tilsvarer at vi har 3 kvarte bølgelengder inne i røret. Tredje laveste resonansfrekvens tilsvarer at vi har 5 kvarte bølgelengder inne i røret. Følgelig er bølgelengden nå 1/5 av grunntonens bølgelengde, som betyr at frekvensen er 5 ganger så stor, dvs 1250 Hz.

21) Elektromagnetiske bølger forplanter seg i vakuum med hastighet

B c = 1/\sqrt{ε_{0}μ_{0}} Her er ε_{0} og μ_{0} henholdsvis elektrisk permittivitet og magnetisk permeabilitet i vakuum.

Tallverdier for disse to konstantene er oppgitt i oppgaveteksten, så det er f.eks. bare å sette inn og prøve seg fram...

22) Sammenhengen mellom tallverdien til E og B i en elektromagnetisk bølge i vakuum er

B E = Bc

23) Himmelen er blå fordi

B utstrålt effekt fra oscillerende dipoler øker med frekvensen.

24) Lyshastigheten i et dielektrikum er

C mindre enn i vakuum.

25) Fra Maxwells ligninger kan man utlede at

A tangentialkomponenten av E og normalkomponenten av B

er kontinuerlige i grenseflaten mellom to dielektriske medier.

Institutt for fysikk NTNU

FY1002/TFY4160 Bølgefysikk Midtsemesterprøve tirsdag 31. oktober 2006 kl 1615 – 1800.

Fasit

Oppgave  A  B  C  D  Oppgave  A  B  C  D
1  x  14  x
2  x  15  x
3  x  16  x
4  x  17  x
5  x  18  x
6  x  19  x
7  x  20  x
8  x  21  x
9  x  22  x
10  x  23  x
11  x  24  x
12  x  25  x
13  x