Institutt for fysikk, NTNU FY1002/TFY4160 Bølgefysikk Høst 2006

Midtsemesterprøve Bølgefysikk Torsdag 12. oktober 2006 kl 1215 – 1400.

Svartabellen står på et eget ark. Sett tydelige kryss. Husk å skrive på studentnummer.

Tillatte hjelpemidler: C

• K. Rottmann: Matematisk formelsamling. (Eller tilsvarende.)

• O. Øgrim og B. E. Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk eller B. E. Lian og C. Angell: Fysiske størrelser og enheter.

• Typegodkjent kalkulator, med tomt minne, i henhold til liste utarbeidet av NTNU. (HP30S eller lignende.)

• Formelsamling i bølgefysikk er inkludert på baksiden av dette arket.

Opplysninger:

• Prøven består av 25 oppgaver. Hver oppgave har ett riktig og tre gale svaralternativ.

• Du skal krysse av for ett svaralternativ på hver oppgave. Avkryssing for mer enn ett alternativ eller ingen alternativ betraktes som feil svar og gir i begge tilfelle null poeng.

• Noen verdier: Tyngdens akselerasjon: g = 9.8 m/s^{2}, Lyshastigheten i vakuum: c = 3 · 10^{8} m/s, Boltzmanns konstant: k_{B} = 1.38 · 10^{−23} J/K, Avogadros tall: N_{A} = 6 · 10^{23}, Protonmassen: m_{p} = 1.67 · 10^{−27} kg.

• Symboler angis i kursiv (f.eks m for masse) mens enheter angis uten kursiv (f.eks m for meter). Vektorer angis med fete symboler. Enhetsvektorer angis med hatt over.

• SI-prefikser: G (giga) = 10^{9}, M (mega) = 10^{6}, k (kilo) = 10^{3}, c (centi) = 10^{−2}, m (milli) = 10^{−3}, μ (mikro) = 10^{−6}, n (nano) = 10^{−9}, p (piko) = 10^{−12}.

• Trigonometriske relasjoner:

A sin(α − β) + B sin(α + β) = (A + B) sin α cos β − (A − B) cos α sin β

Formelsamling Bølgefysikk

Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent.

• Harmonisk plan bølge:

ξ(x, t) = ξ_{0} sin(kx − ωt + ϕ)

• Bølgeligning:

\frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂t^{2}}

• Fasehastighet:

v = \frac{ω}{k}

• Gruppehastighet:

v_{g} = \frac{dω}{dk}

• Generelt for ikkedispersive udempede bølger: v = \sqrt{\frac{elastisk modul}{massetetthet}}

• Generelt for lineær respons i elastiske medier: mekanisk spenning = elastisk modul × relativ tøyning

• For transversale bølger på streng:

v = \sqrt{\frac{S}{μ}}

• For longitudinale bølger i fluider:

v = \sqrt{\frac{B}{ρ}}

• For longitudinale bølger i faste stoffer:

v = \sqrt{\frac{Y}{ρ}}

• Midlere energi pr lengdeenhet for harmonisk bølge på streng:

\overline{ε} = \frac{1}{2}μω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere energi pr volumenhet for harmonisk plan bølge:

\overline{ε} = \frac{1}{2}ρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere effekt transportert med harmonisk bølge på streng:

\overline{P} = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vμω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere intensitet i harmonisk plan bølge:

I = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere impulstetthet for harmonisk bølge:

\overline{π} = \frac{\overline{ε}}{v}

• Ideell gass:

pV = Nk_{B}T

• Varmekapasitet ved konstant trykk (Q = varme):

C_{p} = (\frac{dQ}{dT})_{p}

• Varmekapasitet ved konstant volum (Q = varme):

C_{V} = (\frac{dQ}{dT})_{V}

• Adiabatiske forhold (dvs ingen varmeutveksling): pV^{γ} = konstant

• Adiabatkonstanten:

γ = \frac{C_{p}}{C_{V}}

Gass med 1-atomige molekyler: γ = 5/3. Gass med 2-atomige molekyler: γ = 7/5.

• Bulkmodul for ideell gass ved adiabatiske forhold: B = γp

• Lydhastighet i gass (m = molekylmassen):

v = \sqrt{\frac{γp}{ρ}} = \sqrt{\frac{γk_{B}T}{m}}

• Lydtrykk:

Δp = −B \frac{∂ξ}{∂x}

• Lydnivå:

β(dB) = 10 log \frac{I}{I_{0}}

med I_{0} = 10^{−12} W/m^{2}

• Dopplereffekt:

ν_{O} = \frac{1 − v_{O}/v}{1 − v_{S}/v} ν_{S}

• For sjokkbølger:

sin α = \frac{v}{v_{S}}

• Transversal bølge på streng med massetetthet μ_{1} for x < 0 og μ_{2} for x > 0, innkommende bølge propagerer i positiv x-retning:

Amplitude for reflektert bølge:

y_{r0} = \frac{\sqrt{μ_{2}} − \sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0}

Amplitude for transmittert bølge:

y_{t0} = \frac{2\sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0}

Refleksjonskoeffisient:

R = \begin{matrix}\overline{P} & r \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Transmisjonskoeffisient:

T = \begin{matrix}\overline{P} & t \\ \overline{P} & i \end{matrix}

• Plan lydbølge normalt inn mot grenseflate i x = 0 mellom to medier med elastiske moduler og massetettheter henholdsvis E_{1}, ρ_{1} (for x < 0) og E_{2}, ρ_{2} (for x > 0), innkommende bølge propagerer i positiv x-retning:

Amplitude for reflektert bølge:

ξ_{r0} = \frac{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} − \sqrt{ρ_{1}E_{1}}}{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} + \sqrt{ρ_{1}E_{1}}} ξ_{i0}

Amplitude for transmittert bølge:

ξ_{t0} = \frac{2\sqrt{ρ_{1}E_{1}}}{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} + \sqrt{ρ_{1}E_{1}}} ξ_{i0}

Refleksjonskoeffisient:

R = \begin{matrix}\overline{P} & r \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Transmisjonskoeffisient:

T = \begin{matrix}\overline{P} & t \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Oppgaver

1) En kloss er festet til ei fjær og utfører udempede harmoniske svingninger med vinkelfrekvens ω. Ved et bestemt tidspunkt er fjæra strukket en lengde x_{0} og klossens hastighet er da v_{0}. Hva er klossens maksimale hastighet?

\begin{matrix}A & v_{0} \\ B & v_{0} + ωx_{0} \\ C & v_{0}\sqrt{1 + (ωx_{0}/v_{0})^{2}} \\ D & v_{0}\sqrt{1 − (ωx_{0}/v_{0})^{2}} \end{matrix}

2) En kloss med masse m er festet til ei fjær med fjærkonstant k og utfører dempede svingninger. Friksjonskraften er b · v, der v er klossens hastighet og b er en dempingskonstant. Systemets godhetsfaktor er Q = \sqrt{k · m}/b. Hva blir da godhetsfaktoren for en elektrisk krets bestående av en motstand R, en kapasitans C og en induktans L koblet i serie? Oppgitt (q = ladning, I = strøm):

L\frac{dI}{dt} + RI + \frac{q}{C} = 0

I = \frac{dq}{dt}

\begin{matrix}A & Q = \sqrt{L/R^{2}C} \\ B & Q = \sqrt{LC/R^{2}} \\ C & Q = \sqrt{C/LR^{2}} \\ D & Q = \sqrt{R^{2}L/C} \end{matrix}

Figur 1: Figur 1 gjelder oppgavene 3-8 og viser to øyeblikksbilder av (en del av) en harmonisk transversal bølge som forplanter seg i positiv x-retning på en streng.

3) Hva er bølgens amplitude?

A 1.0 mm
B 2.0 mm
C 1.0 m
D 2.0 m

4) Hva er bølgens bølgelengde?

A 1.0 mm
B 2.0 mm
C 1.0 m
D 2.0 m

5) Hva er bølgehastigheten?

A 0.5 m/s
B 1.5 m/s
C 2.0 m/s
D 2.5 m/s

6) Hva er frekvensen?

A 1.25 Hz
B 2.5 Hz
C 3.75 Hz
D 5.0 Hz

7) Hva er strengelementenes maksimale hastighet?

A 3.9 mm/s
B 5.9 mm/s
C 7.9 mm/s
D 9.9 mm/s

8) Bølgen kan beskrives ved funksjonen y_{0} cos(kx − ωt + ϕ). Hva er da fasekonstanten ϕ?

\begin{matrix}A & ϕ = 0 \\ B & ϕ = π/4 \\ C & ϕ = π/2 \\ D & ϕ = 3π/4 \end{matrix}

Figur 2:

Figur 2 gjelder oppgavene 9-11 og viser et utsnitt av en uendelig lang kjede med masser m, bundet til sine nærmeste nabomasser med masseløse fjærer med fjærkonstant s. Posisjonene x−d, x og x+d angir likevektsposisjoner for de tre massene som er vist i figuren. Utsvinget fra likevekt for massen med likevektsposisjon x betegnes ξ(x, t) der t angir tiden. (Positivt utsving for en masse er mot høyre, dvs i positiv x-retning.) Vi antar at en harmonisk longitudinal bølge ξ(x, t) = ξ_{0} sin(kx − ωt) forplanter seg langs kjeden.

9) Bevegelsesligningen for massen m med likevektsposisjon x er

\begin{matrix}A & mξ̈(x, t) = s [ξ(x + d, t) − 2ξ(x, t) + ξ(x − d, t)] \\ B & mξ̈(x, t) = s [ξ(x + d, t) + 2ξ(x, t) − ξ(x − d, t)] \\ C & mξ̈(x, t) = sξ(x, t) \\ D & mξ̈(x, t) = s [ξ(x + d, t) − ξ(x, t)] \end{matrix}

10) Dispersjonsrelasjonen for dette systemet er

ω(k) = \sqrt{\frac{4s}{m}} sin \frac{kd}{2}

Hva er maksimal fasehastighet?

A null
B \sqrt{sd^{2}/m}
C \sqrt{4s/m}
D \sqrt{4sd^{2}/m}

11) Hva er gruppehastigheten når bølgelengden er 2d?

A null
B \sqrt{sd^{2}/m}
C \sqrt{4s/m}
D \sqrt{4sd^{2}/m}

12) Gull har massetetthet 19320 kg/m^{3} og elastisitetsmodul (eventuelt Youngs modul) 78.5 GPa. Hva er lydhastigheten i gull?

A 345 m/s
B 1684 m/s
C 2016 m/s
D 3014 m/s

13) En sommerdag stiger plutselig temperaturen fra 300 K til 303 K. Hvor mye endres da lydhastigheten?

A -1.0 %
B 0 %
C +0.5 %
D +1.0 %

14) I en gass farer molekylene tilfeldig hit og dit med en midlere hastighet v_{T}, bestemt ved at molekylenes kinetiske energi tilsvarer (omtrent) den termiske energien k_{B}T. Lydhastigheten v i gassen er da

A flere størrelsesordner mindre enn v_{T}.
B av samme størrelsesorden som v_{T}.
C flere størrelsesordner større enn v_{T}.
D for enkelte gasser flere størrelsesordner mindre enn v_{T},

for andre gasser flere størrelsesordner større enn v_{T}.

15) En liten høyttaler sender ut lydbølger med like stor intensitet i alle retninger. Dersom du måler et intensitetsnivå på 75 dB i en avstand 20 m fra høyttaleren, hva er da intensitetsnivået 5 m fra høyttaleren?

A 63 dB
B 87 dB
C 99 dB
D 111 dB

16) Figuren til høyre viser to øyeblikksbilder, ved t = 0 og etter en kvart periode, av en transversal harmonisk bølge på en streng. I x = 0 er strengen skjøtt sammen med en streng med større massetetthet, og bølgen som kommer inn fra venstre, y_{i0} sin(kx − ωt), blir dermed delvis reflektert (y_{r0} sin(kx + ωt)) og delvis transmittert i x = 0. Bruk figuren til å bestemme hvor stor del av den innkommende bølgens energi som i middel blir transmittert (dvs: som propagerer videre forbi x = 0).

A ca 25 %
B ca 44 %
C ca 75 %
D ca 94 %

17) Bølgen

D(x, t) = D_{0}ŷsin(kx − ωt) − D_{0}ẑsin(kx − ωt)

er

A upolarisert.
B lineærpolarisert.
C sirkulærpolarisert.
D elliptiskpolarisert.

18) En gitarstreng med lengde 70 cm er festet i begge ender. Strekket i strengen er 120 N og massen er 7.9 g. Hva er frekvensen til strengens 3. harmoniske (dvs 3. laveste egenfrekvens)?

A 221 Hz
B 231 Hz
C 241 Hz
D 251 Hz

19) To biler kjører rett mot hverandre, bil nr 1 med hastighet 40 m/s og bil nr 2 med hastighet 20 m/s. Begge bilene er utstyrt med en sirene som genererer en harmonisk lydbølge med frekvens 900 Hz. Det er vindstille, og været er ellers slik at lydhastigheten denne dagen er v = 340 m/s. Hvilken frekvens ν_{1} måler bil nr 1 fra sirenen i bil nr 2, og hvilken frekvens ν_{2} måler bil nr 2 fra sirenen i bil nr 1?

A ν_{1} = 1069 Hz og ν_{2} = 1069 Hz
B ν_{1} = 1080 Hz og ν_{2} = 1080 Hz
C ν_{1} = 1069 Hz og ν_{2} = 1080 Hz
D ν_{1} = 1080 Hz og ν_{2} = 1069 Hz

20) Et uvær i Nordsjøen genererer østgående dønninger med bølgelengde 100 m. Bølgene beskrives av dispersjonsrelasjonen ω(k) = \sqrt{gk}, der g er tyngdens akselerasjon og k er bølgetallet. Hvor lang tid tar det før dønningene når fram til Røst, 60 km lenger øst?

A ca 2 timer og 40 minutter
B ca 3 timer og 10 minutter
C ca 3 timer og 40 minutter
D ca 4 timer og 10 minutter

21) Sjokkbølgen fra et jagerfly som flyr horisontalt treffer deg 5.4 s etter at flyet passerte rett over deg. Lydhastigheten er 340 m/s, og flyets hastighet er 1.8 ganger så stor (dvs machtall = 1.8). I hvilken høyde flyr flyet?

A ca 0.8 km
B ca 1.5 km
C ca 2.2 km
D ca 2.9 km

22) Figuren viser utsvinget

x(t) = x_{0}e^{−t/τ} cos ωt,

eller rettere sagt x(t)/x_{0}, for en dempet harmonisk svingning. Omtrent hvor stort er produktet ωτ mellom vinkelfrekvensen og den ”karakteristiske tiden” for dempingsforløpet?

A 0.022
B 1.7
C 14
D 45

23) Et langt, tynt rør som er åpent i den ene enden og lukket i den andre skal brukes til å lage stående lydbølger med frekvens 50 Hz. Dette skal være rørets laveste resonansfrekvens (grunntonen). Hvor langt må da røret være? Lydhastigheten er 340 m/s.

A 85 cm
B 170 cm
C 255 cm
D 340 cm

24) Hva blir nest laveste resonansfrekvens i røret i oppgave 23?

A 100 Hz
B 125 Hz
C 150 Hz
D 200 Hz

25) Figuren viser en lydkilde (s) som sender ut lydbølger med en bestemt frekvens. De fire sirklene angir posisjoner for fire påfølgende bølgetopper. Hva er kildens hastighet v_{s}, inklusive retning, i forhold til lydhastigheten v?

A v_{s} = v/8, mot o.
B v_{s} = v/2, mot o.
C v_{s} = v/8, bort fra o.
D v_{s} = v/2, bort fra o.