Institutt for fysikk, NTNU FY1002/TFY4160 Bølgefysikk Høst 2006

Midtsemesterprøve Bølgefysikk Tirsdag 31. oktober 2006 kl 1615 – 1800.

Svartabellen står på et eget ark. Sett tydelige kryss. Husk å skrive på studentnummer.

Tillatte hjelpemidler: C

• K. Rottmann: Matematisk formelsamling. (Eller tilsvarende.)

• O. Øgrim og B. E. Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk eller B. E. Lian og C. Angell: Fysiske størrelser og enheter.

• Typegodkjent kalkulator, med tomt minne, i henhold til liste utarbeidet av NTNU. (HP30S eller lignende.)

• Formelsamling i bølgefysikk er inkludert på baksiden av dette arket.

Opplysninger:

• Prøven består av 25 oppgaver. Hver oppgave har ett riktig og tre gale svaralternativ.

• Du skal krysse av for ett svaralternativ på hver oppgave. Avkryssing for mer enn ett alternativ eller ingen alternativ betraktes som feil svar og gir i begge tilfelle null poeng.

• Noen verdier: Tyngdens akselerasjon: g = 9.8 m/s^{2}, Lyshastigheten i vakuum: c = 3 · 10^{8} m/s, Boltzmanns konstant: k_{B} = 1.38 · 10^{−23} J/K, Avogadros tall: N_{A} = 6 · 10^{23}, Protonmassen: m_{p} = 1.67 · 10^{−27} kg, Vakuumpermittiviteten: ε_{0} = 8.85 · 10^{−12} F/m, Vakuumpermeabiliteten: μ_{0} = 4π · 10^{−7} H/m.

• Symboler angis i kursiv (f.eks m for masse) mens enheter angis uten kursiv (f.eks m for meter). Vektorer angis med fete symboler. Enhetsvektorer angis med hatt over.

• SI-prefikser: G (giga) = 10^{9}, M (mega) = 10^{6}, k (kilo) = 10^{3}, c (centi) = 10^{−2}, m (milli) = 10^{−3}, μ (mikro) = 10^{−6}, n (nano) = 10^{−9}, p (piko) = 10^{−12}.

• Trigonometriske relasjoner:

A sin(α − β) + B sin(α + β) = (A + B) sin α cos β − (A − B) cos α sin β

Formelsamling Bølgefysikk

Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent.

• Harmonisk plan bølge:

ξ(x, t) = ξ_{0} sin(kx − ωt + ϕ)

• Bølgeligning:

\frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂t^{2}}

• Fasehastighet:

v = \frac{ω}{k}

• Gruppehastighet:

v_{g} = \frac{dω}{dk}

• Generelt for ikkedispersive udempede bølger: v = \sqrt{\frac{elastisk modul}{massetetthet}}

• Generelt for lineær respons i elastiske medier: mekanisk spenning = elastisk modul × relativ tøyning

• For transversale bølger på streng:

v = \sqrt{\frac{S}{μ}}

• For longitudinale bølger i fluider:

v = \sqrt{\frac{B}{ρ}}

• For longitudinale bølger i faste stoffer:

v = \sqrt{\frac{Y}{ρ}}

• Midlere energi pr lengdeenhet for harmonisk bølge på streng:

\overline{ε} = \frac{1}{2}μω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere energi pr volumenhet for harmonisk plan bølge:

\overline{ε} = \frac{1}{2}ρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere effekt transportert med harmonisk bølge på streng:

\overline{P} = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vμω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere intensitet i harmonisk plan bølge:

I = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere impulstetthet for harmonisk bølge:

\overline{π} = \frac{\overline{ε}}{v}

• Ideell gass:

pV = Nk_{B}T

• Varmekapasitet ved konstant trykk (Q = varme):

C_{p} = (\frac{dQ}{dT})_{p}

• Varmekapasitet ved konstant volum (Q = varme):

C_{V} = (\frac{dQ}{dT})_{V}

• Adiabatiske forhold (dvs ingen varmeutveksling): pV^{γ} = konstant

• Adiabatkonstanten:

γ = \frac{C_{p}}{C_{V}}

Gass med 1-atomige molekyler: γ = 5/3. Gass med 2-atomige molekyler: γ = 7/5.

• Bulkmodul for ideell gass ved adiabatiske forhold: B = γp

• Lydhastighet i gass (m = molekylmassen):

v = \sqrt{\frac{γp}{ρ}} = \sqrt{\frac{γk_{B}T}{m}}

• Lydtrykk:

Δp = −B \frac{∂ξ}{∂x}

• Lydnivå:

β(dB) = 10 log \frac{I}{I_{0}}

med I_{0} = 10^{−12} W/m^{2}

• Dopplereffekt:

ν_{O} = \frac{1 − v_{O}/v}{1 − v_{S}/v} ν_{S}

• For sjokkbølger:

sin α = \frac{v}{v_{S}}

• Transversal bølge på streng med massetetthet μ_{1} for x < 0 og μ_{2} for x > 0, innkommende bølge propagerer i positiv x-retning:

Amplitude for reflektert bølge:

y_{r0} = \frac{\sqrt{μ_{2}} − \sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0}

Amplitude for transmittert bølge:

y_{t0} = \frac{2\sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0}

Refleksjonskoeffisient:

R = \begin{matrix}\overline{P} & r \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Transmisjonskoeffisient:

T = \begin{matrix}\overline{P} & t \\ \overline{P} & i \end{matrix}

• Plan lydbølge normalt inn mot grenseflate i x = 0 mellom to medier med elastiske moduler og massetettheter henholdsvis E_{1}, ρ_{1} (for x < 0) og E_{2}, ρ_{2} (for x > 0), innkommende bølge propagerer i positiv x-retning:

Amplitude for reflektert bølge:

ξ_{r0} = \frac{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} − \sqrt{ρ_{1}E_{1}}}{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} + \sqrt{ρ_{1}E_{1}}} ξ_{i0}

Amplitude for transmittert bølge:

ξ_{t0} = \frac{2\sqrt{ρ_{1}E_{1}}}{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} + \sqrt{ρ_{1}E_{1}}} ξ_{i0}

Refleksjonskoeffisient:

R = \begin{matrix}\overline{P} & r \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Transmisjonskoeffisient:

T = \begin{matrix}\overline{P} & t \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Oppgaver

1) En kloss er festet til ei fjær og utfører udempede harmoniske svingninger med vinkelfrekvens ω. Ved et bestemt tidspunkt er fjæra strukket en lengde x_{0} og klossens hastighet er da null. Hva er klossens maksimale hastighet?

\begin{matrix}A & ωx_{0} \\ B & 2ω/x_{0} \\ C & \sqrt{2}ωx_{0} \\ D & ω/x_{0} \end{matrix}

2) En kloss med masse m er festet til ei fjær med fjærkonstant k og utfører dempede svingninger. Friksjonskraften er b · v, der v er klossens hastighet og b er en dempingskonstant. Dersom vi har svak demping, vil klossen svinge fram og tilbake med periode

T = \frac{2π}{\sqrt{k/m − b^{2}/4m^{2}}}

Hva blir da svingeperioden for kondensatorladningen q (og strømmen I) i en elektrisk krets bestående av en motstand R, en kapasitans C og en induktans L koblet i serie? Oppgitt:

L\frac{dI}{dt} + RI + \frac{q}{C} = 0

I = \frac{dq}{dt}

\begin{matrix}A & T = 4πL/\sqrt{1/C − R^{2}} \\ B & T = (2πL/R)/\sqrt{1 − L/CR^{2}} \\ C & T = 2π/\sqrt{LC − L^{2}R^{2}/4} \\ D & T = (4πL/R)/\sqrt{L/CR^{2} − 1} \end{matrix}

Figur 1: Figur 1 gjelder oppgavene 3-8 og viser to øyeblikksbilder av (en del av) en harmonisk transversal bølge som forplanter seg i positiv x-retning på en streng.

3) Hva er bølgens amplitude?

A 10 cm
B 30 cm
C 20 m
D 40 m

4) Hva er bølgens bølgelengde?

A 10 cm
B 30 cm
C 20 m
D 40 m

5) Hva er bølgehastigheten?

A 10 m/s
B 15 m/s
C 20 m/s
D 25 m/s

6) Hva er frekvensen?

A 0.5 Hz
B 1.0 Hz
C 1.5 Hz
D 2.0 Hz

7) Hva er strengelementenes maksimale hastighet?

A 39 cm/s
B 54 cm/s
C 79 cm/s
D 94 cm/s

8) Bølgen kan beskrives ved funksjonen y_{0} sin(kx − ωt − ϕ). Hva er da fasekonstanten ϕ?

\begin{matrix}A & ϕ = 0 \\ B & ϕ = π/4 \\ C & ϕ = π/2 \\ D & ϕ = 3π/4 \end{matrix}

9) Hva er lydhastigheten i hydrogengass (H_{2}) ved romtemperatur (300 K)? Et hydrogenatom har ett proton i kjernen (og ingen nøytroner).

A 345 m/s
B 928 m/s
C 1317 m/s
D 1441 m/s

10) En sommerdag synker plutselig temperaturen fra 300 K til 298 K. Hvor mye endres da lydhastigheten?

A -0.5 %
B -0.3 %
C +0.3 %
D +0.5 %

11) En liten høyttaler sender ut lydbølger med like stor intensitet i alle retninger. Dersom du måler et intensitetsnivå på 80 dB i en avstand 40 m fra høyttaleren, hva er da intensitetsnivået 5 m fra høyttaleren?

A 98 dB
B 104 dB
C 108 dB
D 115 dB

12) Den plane bølgen ξ(r, t) = ξ_{0} sin(k · r − ωt + ϕ) forplanter seg

A i samme retning som r.
B i samme retning som k.
C i en retning normalt på r.
D i en retning normalt på k.

13) Bølgen

D(x, t) = D_{0}ŷsin(kx − ωt) + 3D_{0}ẑcos(kx − ωt)

er

A upolarisert.
B lineærpolarisert.
C sirkulærpolarisert.
D elliptiskpolarisert.

14) En gitarstreng med lengde 75 cm er festet i begge ender. Strekket i strengen er 150 N og massen er 7.2 g. Hva er frekvensen til strengens 2. harmoniske (dvs 2. laveste egenfrekvens)?

A 103 Hz
B 119 Hz
C 141 Hz
D 167 Hz

15) To biler kjører rett fra hverandre, bil nr 1 med hastighet 50 m/s og bil nr 2 med hastighet 5 m/s. Begge bilene er utstyrt med en sirene som genererer en harmonisk lydbølge med frekvens 500 Hz. Det er vindstille, og været er ellers slik at lydhastigheten denne dagen er v = 340 m/s. Hvilken frekvens ν_{1} måler bil nr 1 fra sirenen i bil nr 2, og hvilken frekvens ν_{2} måler bil nr 2 fra sirenen i bil nr 1?

A ν_{1} = 420 Hz og ν_{2} = 420 Hz
B ν_{1} = 420 Hz og ν_{2} = 429 Hz
C ν_{1} = 429 Hz og ν_{2} = 420 Hz
D ν_{1} = 429 Hz og ν_{2} = 429 Hz

16) En høyttaler med masse 0.3 kg er festet til ei tilnærmet masseløs fjær med fjærkonstant 3.0 N/m. Høyttaleren svinger harmonisk med amplitude 0.15 m og sender samtidig ut en tone på 800 Hz. Hvis du står rett foran høyttaleren, vil du høre små variasjoner i tonens frekvens. Hva er forskjellen mellom største og minste frekvens du hører? Lydhastigheten er 340 m/s.

A 1.6 Hz
B 2.2 Hz
C 2.9 Hz
D 3.6 Hz

17) Et uvær i Nordsjøen genererer østgående dønninger med bølgelengde 200 m. Bølgene beskrives av dispersjonsrelasjonen ω(k) = \sqrt{gk}, der g er tyngdens akselerasjon og k er bølgetallet. Hvor lang tid tar det før dønningene når fram til Røst, 50 km lenger øst?

A ca π/6 timer
B ca π/5 timer
C ca π/3 timer
D ca π/2 timer

18) Sjokkbølgen fra et jagerfly som flyr horisontalt treffer deg 4.4 s etter at flyet passerte rett over deg. Lydhastigheten er 340 m/s, og flyets hastighet er 2.3 ganger så stor (dvs machtall = 2.3). I hvilken høyde flyr flyet?

A ca 0.7 km
B ca 1.7 km
C ca 2.7 km
D ca 3.7 km

19) Et langt, tynt rør som er åpent i den ene enden og lukket i den andre skal brukes til å lage stående lydbølger med frekvens 250 Hz. Dette skal være rørets laveste resonansfrekvens (grunntonen). Hvor langt må da røret være? Lydhastigheten er 340 m/s.

A 34 cm
B 68 cm
C 102 cm
D 136 cm

20) Hva blir tredje laveste resonansfrekvens i røret i oppgave 19?

A 500 Hz
B 750 Hz
C 1000 Hz
D 1250 Hz

21) Elektromagnetiske bølger forplanter seg i vakuum med hastighet

\begin{matrix}A & c = ε_{0}/μ_{0} \\ B & c = 1/\sqrt{ε_{0}μ_{0}} \\ C & c = \sqrt{ε_{0}μ_{0}} \\ D & c = ε_{0} \end{matrix}

Her er ε_{0} og μ_{0} henholdsvis elektrisk permittivitet og magnetisk permeabilitet i vakuum.

22) Sammenhengen mellom tallverdien til E og B i en elektromagnetisk bølge i vakuum er

\begin{matrix}A & E = B/c \\ B & E = Bc \\ C & E = B \\ D & E = B^{2} \end{matrix}

23) Himmelen er blå fordi

A sola sender ut bare blått lys.
B utstrålt effekt fra oscillerende dipoler øker med frekvensen.
C atmosfæren inneholder mye karbondioksyd.
D atmosfæren reflekterer lyset fra blå alger i havet.

24) Lyshastigheten i et dielektrikum er

A like stor som i vakuum.
B større enn i vakuum.
C mindre enn i vakuum.
D ikke målbar.

25) Fra Maxwells ligninger kan man utlede at

A tangentialkomponenten av E og normalkomponenten av B
B tangentialkomponenten av B og normalkomponenten av E
C tangentialkomponenten av E og tangentialkomponenten av B
D normalkomponenten av E og normalkomponenten av B

er kontinuerlige i grenseflaten mellom to dielektriske medier.