Side 8 av 16

Formelsamling (legges ved til eksamen 05.12.2008)

Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent.

• Harmonisk plan bølge:

ξ(x, t) = ξ_{0} sin(kx − ωt + ϕ)
ξ(r, t) = ξ_{0} sin(k · r − ωt + ϕ)

• Bølgeligning:

\frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂t^{2}}

∇^{2}ξ(r, t) (≡ \frac{∂^{2}ξ}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}ξ}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}ξ}{∂z^{2}} ) = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}ξ(r, t)}{∂t^{2}}

• Fasehastighet:

v = \frac{ω}{k}

• Gruppehastighet:

v_{g} = \frac{dω}{dk}

• Generelt for ikkedispersive udempede bølger: v = \sqrt{\frac{elastisk modul}{massetetthet}}

• Generelt for lineær respons i elastiske medier: mekanisk spenning = elastisk modul × relativ tøyning

• For transversale bølger på streng:

v = \sqrt{\frac{S}{μ}}

• For longitudinale bølger i fluider:

v = \sqrt{\frac{B}{ρ}}

• For longitudinale bølger i faste stoffer:

v = \sqrt{\frac{Y}{ρ}}

Side 9 av 16

• Middelverdi av harmonisk varierende størrelse A(x, t), midlet over bølgelengde λ:

\overline{A} = \frac{∫_{0}^{λ} A(x, t) dx}{∫_{0}^{λ} dx} = \frac{1}{λ} ∫_{0}^{λ} A(x, t) dx

Middelverdi av harmonisk varierende størrelse A(x, t), midlet over periode T:

⟨A⟩ = \frac{∫_{0}^{T} A(x, t) dt}{∫_{0}^{T} dt} = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} A(x, t) dt

• Midlere energi pr lengdeenhet for harmonisk bølge på streng:

\overline{ε} = \frac{1}{2}μω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere energi pr volumenhet for harmonisk plan bølge:

\overline{ε} = \frac{1}{2}ρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere effekt transportert med harmonisk bølge på streng:

\overline{P} = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vμω^{2}ξ_{0}^{2}

• Intensitet i harmonisk plan bølge:

I = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere impulstetthet for harmonisk bølge:

\overline{π} = \frac{\overline{ε}}{v}

• Ideell gass:

pV = Nk_{B}T

• Varmekapasitet ved konstant trykk (Q = varme):

C_{p} = (\frac{dQ}{dT})_{p}

• Varmekapasitet ved konstant volum (Q = varme):

C_{V} = (\frac{dQ}{dT})_{V}

Side 10 av 16

• Adiabatiske forhold (dvs ingen varmeutveksling): pV^{γ} = konstant

• Adiabatkonstanten:

γ = \frac{C_{p}}{C_{V}}

Gass med 1-atomige molekyler: γ = 5/3. Gass med 2-atomige molekyler: γ = 7/5.

• Bulkmodul for ideell gass ved adiabatiske forhold: B = γp

• Lydhastighet i gass (m = molekylmassen):

v = \sqrt{\frac{γp}{ρ}} = \sqrt{\frac{γk_{B}T}{m}}

• Lydtrykk:

Δp = −B \frac{∂ξ}{∂x}

• Lydnivå:

β(dB) = 10 log \frac{I}{I_{0}}

med I_{0} = 10^{−12} W/m^{2}

• Dopplereffekt for lydbølger:

ν_{O} = \frac{1 − v_{O}/v}{1 − v_{S}/v} ν_{S}

• For sjokkbølger gjelder:

sin α = \frac{v}{v_{S}}

• Transversal bølge på streng med massetetthet μ_{1} for x < 0 og μ_{2} for x > 0, innkommende bølge propagerer i positiv x-retning:

Amplitude for reflektert bølge:

y_{r0} = \frac{\sqrt{μ_{2}} − \sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0}

Amplitude for transmittert bølge:

y_{t0} = \frac{2\sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0}

Refleksjonskoeffisient:

R = \begin{matrix}\overline{P} & r \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Transmisjonskoeffisient:

T = \begin{matrix}\overline{P} & t \\ \overline{P} & i \end{matrix}

• Plan lydbølge normalt inn mot grenseflate i x = 0 mellom to medier med elastiske moduler og massetettheter henholdsvis E_{1}, ρ_{1} (for x < 0) og E_{2}, ρ_{2} (for x > 0), innkommende bølge propagerer i positiv x-retning:

Amplitude for reflektert bølge:

ξ_{r0} = \frac{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} − \sqrt{ρ_{1}E_{1}}}{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} + \sqrt{ρ_{1}E_{1}}} ξ_{i0}

Amplitude for transmittert bølge:

ξ_{t0} = \frac{2\sqrt{ρ_{1}E_{1}}}{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} + \sqrt{ρ_{1}E_{1}}} ξ_{i0}

Refleksjonskoeffisient:

R = \begin{matrix}\overline{P} & r \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Transmisjonskoeffisient:

T = \begin{matrix}\overline{P} & t \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Side 12 av 16

• Maxwells ligninger på integralform:

∮ E · dA = q/ε_{0}
∮ B · dA = 0

∮ E · dl = −\frac{d}{dt} ∫ B · dA

∮ B · dl = μ_{0}I + μ_{0}ε_{0} \frac{d}{dt} ∫ E · dA

• Maxwells ligninger på differensialform: ∇ · E = ρ/ε_{0} ∇ · B = 0

∇ × E = −\frac{∂B}{∂t}

∇ × B = μ_{0}j + μ_{0}ε_{0} \frac{∂E}{∂t}

• Lorentzkraften:

F = q (E + v × B)

• Bølgeligning for E og B i vakuum:

∇^{2}E = \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}E}{∂t^{2}}

∇^{2}B = \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}B}{∂t^{2}}

c = 1/\sqrt{ε_{0}μ_{0}}

• Energitetthet i elektromagnetisk felt:

u = u_{E} + u_{B} = \frac{1}{2}ε_{0}E^{2} + \frac{1}{2μ_{0}} B^{2}

• Intensitet i elektromagnetisk bølge:

I = cε_{0}\overline{E^{2}} = cε_{0}⟨E^{2}⟩

• Poyntings vektor:

S = \frac{1}{μ_{0}} E × B

• Impuls i elektromagnetisk bølge:

π = μ_{0}ε_{0}S

Side 13 av 16

• Elektrisk dipolmoment:

p = qd

• Magnetisk dipolmoment:

m = IA

• Midlere utstrålt effekt fra oscillerende elektrisk dipol p_{0} cos(ωt):

⟨P ⟩ = \frac{p_{0}^{2}ω^{4}}{12πε_{0}c^{3}}

• Midlere utstrålt effekt fra oscillerende magnetisk dipol m_{0} cos(ωt):

⟨P ⟩ = \frac{μ_{0}m_{0}^{2}ω^{4}}{12πc^{3}}

• Malus’ lov:

I(θ) = I_{0} cos^{2} θ

• Lineære medier:

P = ε_{0}χ_{e}E
D = ε_{0}E + P = ε_{0}(1 + χ_{e})E = ε_{0}ε_{r}E = εE
M = χ_{m}H
B = μ_{0}H + M = μ_{0}(1 + χ_{m})H = μ_{0}μ_{r}H = μH
∮ D · dA = q_{fri}
∮ B · dA = 0
∮ E · dl = −\frac{d}{dt} ∫ B · dA
∮ H · dl = I_{fri} + \frac{d}{dt} ∫ D · dA
∇ · D = ρ_{fri}
∇ · B = 0
∇ × E = −\frac{∂B}{∂t}
∇ × H = j_{fri} + \frac{∂D}{∂t}
u = \frac{1}{2}εE^{2} + \frac{1}{2μ}B^{2}
S = \frac{1}{μ}E × B

Side 14 av 16

• For elektromagnetiske bølger i medier (q_{fri} = I_{fri} = 0):

∇^{2}E = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}E}{∂t^{2}}
∇^{2}B = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}B}{∂t^{2}}
v = \frac{1}{\sqrt{εμ}} = \frac{c}{\sqrt{ε_{r}μ_{r}}} = \frac{c}{n}

• Grenseflatebetingelser (q_{fri} = I_{fri} = 0 i grenseflaten):

ΔD_{⊥} = 0
ΔE_{∥} = 0
ΔB_{⊥} = 0
ΔH_{∥} = 0

• Refleksjon og brytning:

θ_{r} = θ_{i}
n_{1} sin θ_{i} = n_{2} sin θ_{t}

• Youngs eksperiment med to smale spalter:

I(θ) = 4I_{0} cos^{2} (\frac{πd}{λ} sin θ)

• Diffraksjonsgitter med N smale spalter:

I(θ) = I_{0} sin^{2} (\frac{Nπd}{λ} sin θ) ; sin^{2} (\frac{πd}{λ} sin θ)

• Diffraksjon fra en spalte:

I(θ) = I(0) \begin{matrix}sin & 2 & (\frac{πa}{λ} sin θ) \\ (\frac{πa}{λ} sin θ) & 2 \end{matrix}

• Diffraksjon fra N spalter, spaltebredde a, spalteavstand d:

I(θ) = Î sin^{2} (\frac{πa}{λ} sin θ) ; (\frac{πa}{λ} sin θ)^{2} · sin^{2} (\frac{Nπd}{λ} sin θ) ; sin^{2} (\frac{πd}{λ} sin θ)

Side 15 av 16

• Lorentzfaktor:

γ = (1 − v^{2}/c^{2})^{−1/2}

• Lorentztransformasjonene (\overline{S} har hastighet v = vx̂ i forhold til S):

\overline{x} = γ (x − vt)
\overline{y} = y
\overline{z} = z
\overline{t} = γ (t − \frac{v}{c^{2}} x)
x = γ (\overline{x} + v\overline{t})
y = \overline{y}
z = \overline{z}
t = γ (\overline{t} + \frac{v}{c^{2}} \overline{x})

• Tidsdilatasjon:

Δt = γΔ\overline{t}

• Lengdekontraksjon:

Δ\overline{x} = γΔx

• Hastighet i S (u = u_{x}x̂ + u_{y}ŷ + u_{z}ẑ):

u_{x} = dx/dt
u_{y} = dy/dt
u_{z} = dz/dt

Hastighet i \overline{S} (\overline{u} = \overline{u}_{x}x̂ + \overline{u}_{y}ŷ + \overline{u}_{z}ẑ):

\overline{u}_{x} = d\overline{x}/d\overline{t}
\overline{u}_{y} = d\overline{y}/d\overline{t}
\overline{u}_{z} = d\overline{z}/d\overline{t}

• Addisjon av hastigheter (alle hastigheter i samme retning):

v_{AC} = \frac{v_{AB} + v_{BC}}{1 + v_{AB}v_{BC}/c^{2}}

• Dopplereffekt for elektromagnetiske bølger:

\overline{ν} = ν (\frac{c − v}{c + v} )^{1/2}

Side 16 av 16

• Relativistisk impuls:

p = γmv

• Newtons 2. lov:

F = \frac{dp}{dt}

• Energi:

E = γmc^{2}
E_{0} = mc^{2}
E_{k} = E − E_{0}
E^{2} = (pc)^{2} + (mc^{2})^{2}

• Elastisk prosess: E, p, E_{k} og m bevart.

• Uelastisk prosess: E og p bevart.