Side 1 av 16

NOREGS TEKNISK-NATURVITSKAPLEGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK

Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33

EKSAMEN FY1002 og TFY4160 BØLGEFYSIKK Fredag 5. desember 2008 kl. 0900 - 1300 Nynorsk

Hjelpemiddel: C

• K. Rottmann: Matematisk formelsamling (alle språk).

• O. Øgrim og B. E. Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk, eller C. Angell og B. E. Lian: Fysiske størrelser og enheter.

• Typegodkjend kalkulator, med tomt minne, i henhold til liste utarbeidd av NTNU. (HP30S eller liknande.)

Side 2 – 7: Oppgåver Side 8 – 16: Formelsamling

Prøva består av 5 oppgåver. Det er angitt kor mykje dei ulike oppgåvene tel under vurderinga. Dei prosentvise tala summerer seg opp til 100 %. Heile denne prøva tel 80 % på sluttkarakteren. Dei resterande 20 % vert utgjort av midtsemesterprøva som vart avhelde i oktober.

Sensuren kjem seinast 5. januar 2009.

Side 2 av 16

OPPGÅVE 1 [tel 20 %, dvs 10 flervalgsoppgåver som tel 2% kvar]

Kvart av spørsmåla a – j har eit riktig og tre gale svaralternativ. Angi eit svar (A, B, C eller D) for kvart spørsmål. (Vi ber altså ikkje om grunngjevinger eller utrekninger på denne oppgåva.)

a) Ein masse m er festa til ei fjær med fjærkonstant k og kan utføre dempa harmoniske svingninger med vinkelfrekvens ω. Dempingskrafta verkar mot massens rørsle og er proporsjonal med massens hastigheit, F_{d} = −bẋ. Kva for ein figur nedanfor viser korleis vinkelfrekvensen ω avheng av dempingskonstanten b?

b) Massen i oppgåve a) vert så påverka av ei harmonisk kraft F_{0} cos ωt og tvinges dermed til å utføre harmoniske svingninger med amplitude

A(ω) = \frac{F_{0}}{m\sqrt{(ω^{2} − k/m)^{2} + ω^{2}b^{2}/m^{2}}}

Anta at dempinga er svak (dvs b ≪ \sqrt{mk}). Kva for ein av figurane nedanfor viser korleis halvverdibredda Δω avheng av dempingskonstanten b? Δω er definert som bredda til A(ω) der kor A er ein faktor 1/\sqrt{2} av sin maksimale verdi.

c) Vi betrakter ei transversal harmonisk bølgje på ein streng, med liten amplitude (i forhold til bølgjelengda). Kva for ein av figurane nedanfor viser korleis fasehastigheiten v_{f} og gruppehastigheiten v_{g} avheng av bølgja sin vinkelfrekvens ω? d) Bølgjelengdene for ståande lydbølgjer i eit langt og tynt rør med lengd L som er åpent i den eine enden og lukka i den andre enden, er (med n = 1, 2, …)

A: λ_{n} = L/n  B: λ_{n} = 2L/(n + 1)  C: λ_{n} = 3L/2n  D: λ_{n} = 4L/(2n − 1)

e) Planet z = 0 representerer grenseflata mellom to ulike dielektriske medier. Dei to mediene er ikkje magnetiske, dvs dei har begge magnetisk permeabilitet μ_{0}, som vakuum. Kva for komponentar av det elektromagnetiske feltet er da ikkje kontinuerlege i z = 0?

A: Bare E_{z}  B: E_{z}, B_{x} og B_{y}  C: E_{x}, E_{y} og E_{z}  D: B_{x} og B_{y}

f) Kva beskriv best årsaka til at himmelen er blå?

A: Intensiteten i stråling frå ein oscillerande elektrisk dipol auker sterkt med aukande frekvens. B: I henhold til Snells brytningslov avbøyes blått lys meir enn rødt lys. C: Brewsters vinkel er mindre for blått enn for rødt lys. D: På grunn av dopplereffekten får vi ei såkalla blåforskyving av sollyset.

g) Kvitt lys som er polarisert i x-retning, propagerer i z-retning, og treff på eit spreiande medium (som f.eks. atmosfæra). Kva for ein påstand om det spreidde lyset er da direkte feil?

A: Størst intensitet i yz-planet. B: Stor grad av polarisering i y- og z-retning. C: Ein intensitet som avtek med bølgjelengda opphøgd i fjerde potens. D: Tilnærma null intensitet i x-retning.

h) Ein fin haustkveld ser du månen spegle seg ute på ein innsjø. Du anslår månelysets innfallsvinkel til ein stad mellom 50 og 55 grader. Kva kan du da seie om lyset som reflekteres på vannoverflata?

A: Det er i stor grad sirkulærpolarisert. B: Det er i stor grad polarisert normalt på innfallsplanet. C: Det er i stor grad elliptisk polarisert. D: Det er fullstendig upolarisert. i) Koherent laserlys sammensatt av to bølgjelengder, 450 nm (blått) og 675 nm (orange), sendes inn mot eit diffraksjonsgitter med eit stort antall meget smale spalter. Dette resulterer i eit såkalla linjespektrum, der vi normalt bruker betegnelsen linjer i staden for hovedmaksima. (Såkalla bimaksima kan vi sjå bort frå her.) Kva for ein påstand er da korrekt vedrørande linjespektrene som observeres på ein skjerm langt unna diffraksjonsgitteret?

A: Blått og orange lys vil ha samtlege linjer sammenfallande. B: Blått og orange lys vil ikkje ha noken sammenfallande linjer. C: Kvar tredje linje for blått lys vil falle sammen med kvar andre linje for orange lys. D: Kvar andre linje for blått lys vil falle sammen med kvar tredje linje for orange lys.

j) Koherent laserlys med bølgjelengd 600 nm passerer gjennom 4 parallelle spalter og resulterer i ei intensitetsfordeling I(y) på ein skjerm i avstand L = 100 cm frå spaltane, sjå figuren nedanfor. Vi har da samanhangen y = L tan θ, der θ tilsvarer vinkelavviket i forhold til rett fram. Kva for ein kombinasjon av spaltebreidd a og (senter–til–senter) spalteavstand d er nytta i eksperimentet?

A: a = 0.02 mm, d = 0.06 mm B: a = 0.02 mm, d = 0.20 mm C: a = 0.10 mm, d = 0.30 mm D: a = 0.10 mm, d = 0.50 mm OPPGÅVE 2 [tel 30 %, dvs a, b, c og d tel 7.5 % kvar]

Ein bølgjepuls

y(x, t) = y_{0} exp [−(ax − bt)^{2}]

vandrar langs ein (tilnærma uendeleg lang) streng med masse μ pr lengdeining. Storleiken y(x, t) representerer det transversale utsvinget (i forhold til likevekt) ved tidspunktet t for strengelementet i posisjonen x. Her er y_{0}, a, b og μ alle positive konstante storleiker som kan betraktes som kjende i denne oppgåva. Vi ser her kun på små utsving y.

a) I kva for retning propagerer bølgja? Kva slags (SI-)einginger har koeffisientane a og b? Kva er bølgjehastigheiten v? Med kor stor kraft S er strengen strekt?

b) Kva er bølgjepulsens halvverdibreidd Δx? Δx er definert som breidda der utsvinget y er lik maksimalt utsving multiplisert med 1/\sqrt{2}.

c) Finn eit uttrykk for bølgjepulsens totale energi E. Kontroller at uttrykket for E har riktig dimensjon.

d) Rekn ut bølgjas totale impuls p.

Oppgitt:

Bølgjeenergi pr lengdeining:

ε(x, t) = μv^{2} (\frac{∂y}{∂x})^{2}

Bølgjeimpuls pr lengdeining:

π(x, t) = μ (1 − \frac{∂y}{∂x}) \frac{∂y}{∂t}

Eit par integral:

∫_{−∞}^{∞} βe^{−β^{2}}dβ = 0

∫_{−∞}^{∞} β^{2}e^{−β^{2}}dβ = \frac{\sqrt{π}}{2}

OPPGÅVE 3 [tel 15%]

Ei plan elektromagnetisk bølgje kjem inn i nærleiken av hjørnet på eit dielektrisk materiale med brytningsindeks n = 1.25. (Det omgjevande mediet er luft med brytningsindeks 1.0.) Innfallsplanet tilsvarer papirplanet og står dermed vinkelrett på den vertikale overflata til venstre (merkt V i figuren). For kva slags verdiar av innfallsvinkelen θ får vi total refleksjon i den vertikale overflata til venstre?

OPPGÅVE 4 [tel 15%]

Ei radioantenne er plassert i x = 0 og mottek tre koherente, plane elektromagnetiske cosinusbølgjer, ei med amplitude A og vinkelfrekvens Ω, dei to andre med amplitude α og vinkelfrekvens henholdsvis Ω + ω og Ω − ω. Alle dei tre bølgjene forplanter seg i positiv x-retning, er polarisert i same retning, har fasekonstant lik null, og interfererer maksimalt konstruktivt i x = 0 ved t = 0. Vis at den totale elektriske feltstyrka E(t) ved radioantenna da kan skrivast på forma

E(t) = A cos Ωt [1 + M(t)]

og bestem på den måten ”modulasjonsbølgja” M(t). Skisser storleiken E(t)/A mellom t = 0 og t = 2π/ω når α/A = 0.2 og ω/Ω = 0.1.

Oppgitt:

cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b

OPPGÅVE 5 [tel 20 %, dvs a og b tel 10% kvar]

a) Tre identiske satellittar A, B og C har radiosender og -mottakar ombord. Alle tre kringkaster (dvs sender ut elektromagnetiske bølgjer) med frekvens f_{0} (målt i satellittanes eige kvilesystem). Satellittane A og C beveger seg med hastigheit henholdsvis −v og v relativt satellitt B, som vist i figuren:

Bestem frekvensane f_{CB} og f_{CA} på signala som mottakaren på satellitt C mottek frå senderane på henholdsvis satellitt B og satellitt A.

Kva blir differansen f_{CB}−f_{CA} når satellittanes relative hastigheiter er små i forhold til lyshastigheita, dvs v ≪ c? (Med andre ord: Finn eit tilnærma uttrykk for denne differansen, til leiande orden i den lille storleiken v/c.)

b) Ein rakett akselererast utelukkande ved å sende ut (masselause) fotoner, alle i ei og samme retning. Raketten startar i ro med masse M_{0}. Kva er rakettens hastigheit v når dens masse har blitt redusert til M_{1}? Bestem talverdi for v/c dersom M_{1} = M_{0}/2. Heilt til slutt, vurder om uttrykket du har funne for v er fornuftig i grensa M_{1} → 0. (Alternativt: Kva bør v bli i denne grensa?)

Side 8 av 16

Formelsamling

Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent.

• Harmonisk plan bølge:

ξ(x, t) = ξ_{0} sin(kx − ωt + ϕ)
ξ(r, t) = ξ_{0} sin(k · r − ωt + ϕ)

• Bølgeligning:

\frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂t^{2}}

∇^{2}ξ(r, t) (≡ \frac{∂^{2}ξ}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}ξ}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}ξ}{∂z^{2}} ) = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}ξ(r, t)}{∂t^{2}}

• Fasehastighet:

v = \frac{ω}{k}

• Gruppehastighet:

v_{g} = \frac{dω}{dk}

• Generelt for ikkedispersive udempede bølger: v = \sqrt{\frac{elastisk modul}{massetetthet}}

• Generelt for lineær respons i elastiske medier: mekanisk spenning = elastisk modul × relativ tøyning

• For transversale bølger på streng:

v = \sqrt{\frac{S}{μ}}

• For longitudinale bølger i fluider:

v = \sqrt{\frac{B}{ρ}}

• For longitudinale bølger i faste stoffer:

v = \sqrt{\frac{Y}{ρ}}

Side 9 av 16

• Middelverdi av harmonisk varierende størrelse A(x, t), midlet over bølgelengde λ:

\overline{A} = \frac{∫_{0}^{λ} A(x, t) dx}{∫_{0}^{λ} dx} = \frac{1}{λ} ∫_{0}^{λ} A(x, t) dx

Middelverdi av harmonisk varierende størrelse A(x, t), midlet over periode T:

⟨A⟩ = \frac{∫_{0}^{T} A(x, t) dt}{∫_{0}^{T} dt} = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} A(x, t) dt

• Midlere energi pr lengdeenhet for harmonisk bølge på streng:

\overline{ε} = \frac{1}{2}μω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere energi pr volumenhet for harmonisk plan bølge:

\overline{ε} = \frac{1}{2}ρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere effekt transportert med harmonisk bølge på streng:

\overline{P} = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vμω^{2}ξ_{0}^{2}

• Intensitet i harmonisk plan bølge:

I = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere impulstetthet for harmonisk bølge:

\overline{π} = \frac{\overline{ε}}{v}

• Ideell gass:

pV = Nk_{B}T

• Varmekapasitet ved konstant trykk (Q = varme):

C_{p} = (\frac{dQ}{dT})_{p}

• Varmekapasitet ved konstant volum (Q = varme):

C_{V} = (\frac{dQ}{dT})_{V}

• Adiabatiske forhold (dvs ingen varmeutveksling): pV^{γ} = konstant

• Adiabatkonstanten:

γ = \frac{C_{p}}{C_{V}}

Gass med 1-atomige molekyler: γ = 5/3. Gass med 2-atomige molekyler: γ = 7/5.

• Bulkmodul for ideell gass ved adiabatiske forhold: B = γp

• Lydhastighet i gass (m = molekylmassen):

v = \sqrt{\frac{γp}{ρ}} = \sqrt{\frac{γk_{B}T}{m}}

• Lydtrykk:

Δp = −B \frac{∂ξ}{∂x}

• Lydnivå:

β(dB) = 10 log \frac{I}{I_{0}}

med I_{0} = 10^{−12} W/m^{2}

• Dopplereffekt for lydbølger:

ν_{O} = \frac{1 − v_{O}/v}{1 − v_{S}/v} ν_{S}

• For sjokkbølger gjelder:

sin α = \frac{v}{v_{S}}

• Transversal bølge på streng med massetetthet μ_{1} for x < 0 og μ_{2} for x > 0, innkommende bølge propagerer i positiv x-retning:

Amplitude for reflektert bølge:

y_{r0} = \frac{\sqrt{μ_{2}} − \sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0}

Amplitude for transmittert bølge:

y_{t0} = \frac{2\sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0}

Refleksjonskoeffisient:

R = \begin{matrix}\overline{P} & r \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Transmisjonskoeffisient:

T = \begin{matrix}\overline{P} & t \\ \overline{P} & i \end{matrix}

• Plan lydbølge normalt inn mot grenseflate i x = 0 mellom to medier med elastiske moduler og massetettheter henholdsvis E_{1}, ρ_{1} (for x < 0) og E_{2}, ρ_{2} (for x > 0), innkommende bølge propagerer i positiv x-retning:

Amplitude for reflektert bølge:

ξ_{r0} = \frac{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} − \sqrt{ρ_{1}E_{1}}}{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} + \sqrt{ρ_{1}E_{1}}} ξ_{i0}

Amplitude for transmittert bølge:

ξ_{t0} = \frac{2\sqrt{ρ_{1}E_{1}}}{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} + \sqrt{ρ_{1}E_{1}}} ξ_{i0}

Refleksjonskoeffisient:

R = \begin{matrix}\overline{P} & r \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Transmisjonskoeffisient:

T = \begin{matrix}\overline{P} & t \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Side 12 av 16

• Maxwells ligninger på integralform:

∮ E · dA = q/ε_{0}
∮ B · dA = 0

∮ E · dl = −\frac{d}{dt} ∫ B · dA

∮ B · dl = μ_{0}I + μ_{0}ε_{0} \frac{d}{dt} ∫ E · dA

• Maxwells ligninger på differensialform: ∇ · E = ρ/ε_{0} ∇ · B = 0

∇ × E = −\frac{∂B}{∂t}

∇ × B = μ_{0}j + μ_{0}ε_{0} \frac{∂E}{∂t}

• Lorentzkraften:

F = q (E + v × B)

• Bølgeligning for E og B i vakuum:

∇^{2}E = \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}E}{∂t^{2}}

∇^{2}B = \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}B}{∂t^{2}}

c = 1/\sqrt{ε_{0}μ_{0}}

• Energitetthet i elektromagnetisk felt:

u = u_{E} + u_{B} = \frac{1}{2}ε_{0}E^{2} + \frac{1}{2μ_{0}} B^{2}

• Intensitet i elektromagnetisk bølge:

I = cε_{0}\overline{E^{2}} = cε_{0}⟨E^{2}⟩

• Poyntings vektor:

S = \frac{1}{μ_{0}} E × B

• Impuls i elektromagnetisk bølge:

π = μ_{0}ε_{0}S

Side 13 av 16

• Elektrisk dipolmoment:

p = qd

• Magnetisk dipolmoment:

m = IA

• Midlere utstrålt effekt fra oscillerende elektrisk dipol p_{0} cos(ωt):

⟨P ⟩ = \frac{p_{0}^{2}ω^{4}}{12πε_{0}c^{3}}

• Midlere utstrålt effekt fra oscillerende magnetisk dipol m_{0} cos(ωt):

⟨P ⟩ = \frac{μ_{0}m_{0}^{2}ω^{4}}{12πc^{3}}

• Malus’ lov:

I(θ) = I_{0} cos^{2} θ

• Lineære medier:

P = ε_{0}χ_{e}E
D = ε_{0}E + P = ε_{0}(1 + χ_{e})E = ε_{0}ε_{r}E = εE
M = χ_{m}H
B = μ_{0}H + M = μ_{0}(1 + χ_{m})H = μ_{0}μ_{r}H = μH
∮ D · dA = q_{fri}
∮ B · dA = 0
∮ E · dl = −\frac{d}{dt} ∫ B · dA
∮ H · dl = I_{fri} + \frac{d}{dt} ∫ D · dA
∇ · D = ρ_{fri}
∇ · B = 0
∇ × E = −\frac{∂B}{∂t}
∇ × H = j_{fri} + \frac{∂D}{∂t}
u = \frac{1}{2}εE^{2} + \frac{1}{2μ}B^{2}
S = \frac{1}{μ}E × B

Side 14 av 16

• For elektromagnetiske bølger i medier (q_{fri} = I_{fri} = 0):

∇^{2}E = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}E}{∂t^{2}}
∇^{2}B = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}B}{∂t^{2}}
v = \frac{1}{\sqrt{εμ}} = \frac{c}{\sqrt{ε_{r}μ_{r}}} = \frac{c}{n}

• Grenseflatebetingelser (q_{fri} = I_{fri} = 0 i grenseflaten):

ΔD_{⊥} = 0
ΔE_{∥} = 0
ΔB_{⊥} = 0
ΔH_{∥} = 0

• Refleksjon og brytning:

θ_{r} = θ_{i}
n_{1} sin θ_{i} = n_{2} sin θ_{t}

• Youngs eksperiment med to smale spalter:

I(θ) = 4I_{0} cos^{2} (\frac{πd}{λ} sin θ)

• Diffraksjonsgitter med N smale spalter:

I(θ) = I_{0} sin^{2} (\frac{Nπd}{λ} sin θ) ; sin^{2} (\frac{πd}{λ} sin θ)

• Diffraksjon fra en spalte:

I(θ) = I(0) \begin{matrix}sin & 2 & (\frac{πa}{λ} sin θ) \\ (\frac{πa}{λ} sin θ) & 2 \end{matrix}

• Diffraksjon fra N spalter, spaltebredde a, spalteavstand d:

I(θ) = Î sin^{2} (\frac{πa}{λ} sin θ) ; (\frac{πa}{λ} sin θ)^{2} · sin^{2} (\frac{Nπd}{λ} sin θ) ; sin^{2} (\frac{πd}{λ} sin θ)

Side 15 av 16

• Lorentzfaktor:

γ = (1 − v^{2}/c^{2})^{−1/2}

• Lorentztransformasjonene (\overline{S} har hastighet v = vx̂ i forhold til S):

\overline{x} = γ (x − vt)
\overline{y} = y
\overline{z} = z
\overline{t} = γ (t − \frac{v}{c^{2}} x)
x = γ (\overline{x} + v\overline{t})
y = \overline{y}
z = \overline{z}
t = γ (\overline{t} + \frac{v}{c^{2}} \overline{x})

• Tidsdilatasjon:

Δt = γΔ\overline{t}

• Lengdekontraksjon:

Δ\overline{x} = γΔx

• Hastighet i S (u = u_{x}x̂ + u_{y}ŷ + u_{z}ẑ):

u_{x} = dx/dt
u_{y} = dy/dt
u_{z} = dz/dt

Hastighet i \overline{S} (\overline{u} = \overline{u}_{x}x̂ + \overline{u}_{y}ŷ + \overline{u}_{z}ẑ):

\overline{u}_{x} = d\overline{x}/d\overline{t}
\overline{u}_{y} = d\overline{y}/d\overline{t}
\overline{u}_{z} = d\overline{z}/d\overline{t}

• Addisjon av hastigheter (alle hastigheter i samme retning):

v_{AC} = \frac{v_{AB} + v_{BC}}{1 + v_{AB}v_{BC}/c^{2}}

• Dopplereffekt for elektromagnetiske bølger:

\overline{ν} = ν (\frac{c − v}{c + v} )^{1/2}

Side 16 av 16

• Relativistisk impuls:

p = γmv

• Newtons 2. lov:

F = \frac{dp}{dt}

• Energi:

E = γmc^{2}
E_{0} = mc^{2}
E_{k} = E − E_{0}
E^{2} = (pc)^{2} + (mc^{2})^{2}

• Elastisk prosess: E, p, E_{k} og m bevart.

• Uelastisk prosess: E og p bevart.