Utarbeidet av: Jon Andreas Støvneng (jon.stovneng@ntnu.no)

RETTESNOR VED SENSUR AV EKSAMEN I FY1002 og TFY4160 BØLGEFYSIKK Fredag 5. desember 2008 kl. 0900 - 1300

OPPGAVE 1 [telte 20 %, dvs 10 flervalgsoppgaver som telte 2% hver]

a) A f) A

b) C g) B

c) D h) B

d) D i) C

e) A j) B

OPPGAVE 2 [telte 30 %, dvs a, b, c og d telte 7.5 % hver]

a) y(x − (b/a)t) ⇒ \underline{positiv x-retning} ax og bt dimensjonsløse ⇒ \underline{[a] = m^{−1} og [b] = s^{−1}} \underline{v = b/a} v = \sqrt{S/μ} ⇒ \underline{S = v^{2}μ = b^{2}μ/a^{2}} b)

exp(−2a^{2}x^{2}) = 1/2 ⇒ 2a^{2}x^{2} = ln 2 ⇒ x = ±\frac{1}{a}\sqrt{\frac{ln 2}{2}}
⇒ Δx = \underline{\frac{2}{a}\sqrt{\frac{ln 2}{2}} = \frac{1}{a}\sqrt{ln 4}}

c) Total energi:

E = ∫_{−∞}^{∞} ε(x) dx = μv^{2} ∫_{−∞}^{∞} (\frac{∂y}{∂x})^{2} dx

Her er ∂y/∂x = −2a^{2}xy_{0} exp(−a^{2}x^{2}) slik at (med v^{2} = b^{2}/a^{2})

E = 4a^{2}b^{2}μy_{0}^{2} ∫_{−∞}^{∞} x^{2} exp(−2a^{2}x^{2}) dx

Substituerer β = \sqrt{2}ax. Da er x^{2} dx = β^{2} dβ/2\sqrt{2}a^{3}, så vi får

E = \frac{4a^{2}b^{2}μy_{0}^{2}}{2\sqrt{2}a^{3}} ∫_{−∞}^{∞} β^{2}e^{−β^{2}} dβ = \underline{\frac{\sqrt{π/2} b^{2}μy_{0}^{2}}{a}}

Enhet: s^{−2} · (kg/m) · m^{2} · m = J d) Total impuls:

p = ∫_{−∞}^{∞} π(x) dx

med impuls π pr lengdeenhet,

π(x, t) = μ (1 − \frac{∂y}{∂x}) \frac{∂y}{∂t}

Her er det to ledd, og det første (dvs 1-eren inne i parentesen) vil gi null bidrag siden vi ved å derivere y(x, t) en gang mhp t, ender opp med en integrand som er på samme form som det oppgitte integralet som er lik null. Det andre leddet vil gi samme type integral som vi hadde i uttrykket for energien E. Forskjellen består i at en derivasjon mhp x er byttet ut med en derivasjon mhp t, samt et fortegn og en faktor v^{−2}. Alt i alt resulterer dette i at p = E/v, så vi kan skrive ned direkte

p = E/v = Ea/b = \underline{\sqrt{π/2} bμy_{0}^{2}}

OPPGAVE 3 [telte 15%]

Fra figur: θ_{t} = π/2 − θ_{r}. Snells lov gir:

sin θ = n sin θ_{t}
sin θ_{2} = n sin θ_{r}

Dersom θ_{r} gir θ_{2} > π/2, har vi total refleksjon. Grensetilfellet θ_{2} = π/2:

sin θ_{r} = 1/n

som gir

sin θ = n sin θ_{t} = n sin(π/2 − θ_{r}) = n cos θ_{r} = n\sqrt{1 − sin^{2} θ_{r}} = n\sqrt{1 − n^{−2}} = \sqrt{n^{2} − 1}

Med n = 1.25 finner vi θ\underline{≃ 48.6 ≃ 49} grader. som er største verdi for θ som gir total refleksjon i venstre grenseflate.

OPPGAVE 4 [telte 15%] Kan skrive ned:

E(t) = A cos Ωt + α cos(Ω + ω)t + α cos(Ω − ω)t

i antennens posisjon x = 0. Bruker

cos(Ω + ω)t + cos(Ω − ω)t = 2 cos Ωt · cos ωt

og finner

E(t) = A cos Ωt [1 + \frac{2α}{A} cos ωt]

Med andre ord er modulasjonsbølgen

M(t) = \underline{\frac{2α}{A} cos ωt}

Med α/A = 0.2 og ω/Ω = 0.1 har vi

E(t)/A = cos 10ωt [1 + 0.4 cos ωt]

Skisse:

OPPGAVE 5 [telte 20 %, dvs a og b telte 10% hver]

a)

f = f_{0}\sqrt{\frac{c − v}{c + v}} = f_{0}\sqrt{\frac{1 − β}{1 + β}}

f måles av observatør med hastighet v bort fra kilde som ”kringkaster” frekvensen f_{0}. (β = v/c). v_{CB} = v, som gir

f_{CB} = \underline{f_{0}\sqrt{\frac{1 − β}{1 + β}}}

v_{CA} = \frac{v_{CB} + v_{BA}}{1 + v_{CB}v_{BA}/c^{2}} = \frac{v + v}{1 + v^{2}/c^{2}} = \frac{2v}{1 + β^{2}}

Dermed er

f_{CA} = f_{0}\sqrt{\frac{1 − v_{CA}/c}{1 + v_{CA}/c}}

= f_{0}\sqrt{\frac{1 − 2β/(1 + β^{2})}{1 + 2β/(1 + β^{2})}} = f_{0}\sqrt{\frac{1 + β^{2} − 2β}{1 + β^{2} + 2β}}
= \underline{f_{0} · \frac{1 − β}{1 + β}}

v ≪ c og β ≪ 1 gir til ledende orden i β:

f_{CB} ≃ f_{0}(1 − β)
f_{CA} ≃ f_{0}(1 − 2β)

som gir differansen

f_{CB} − f_{CA} ≃ \underline{βf_{0} = \frac{v}{c} f_{0}}

b) Prinsippene om bevaring av impuls og energi må brukes her. Total energi initielt:

E = M_{0}c^{2}

Etter: Fotonenes energi:

E_{f} = pc

Rakettens energi:

E_{r} = \sqrt{(pc)^{2} + (M_{1}c^{2})^{2}}

Energibevarelse gir:

M_{0}c^{2} = E_{f} + E_{r} = pc + \sqrt{(pc)^{2} + (M_{1}c^{2})^{2}}

Løses med hensyn på p, eventuelt med hensyn på pc:

pc = \frac{(M_{0}c^{2})^{2} − (M_{1}c^{2})^{2}}{2M_{0}c^{2}}

Bruker deretter

p = γM_{1}v

som gir

v^{2} = \frac{p^{2}}{M_{1}^{2}γ^{2}} = \frac{p^{2}}{M_{1}^{2}} (1 − \frac{v^{2}}{c^{2}} )

Løses med hensyn på v^{2}, evt v^{2}/c^{2}:

\frac{v^{2}}{c^{2}} = (1 + \frac{(M_{1}c^{2})^{2}}{(pc)^{2}} )^{−1}

Setter inn for pc, og finner:

\frac{v^{2}}{c^{2}} = (\frac{1 − (M_{1}/M_{0})^{2}}{1 + (M_{1}/M_{0})^{2}} )^{2}

Med andre ord:

v = \underline{c · \frac{1 − (M_{1}/M_{0})^{2}}{1 + (M_{1}/M_{0})^{2}}}

Dersom M_{1} = M_{0}/2, får vi

\frac{v}{c} = \frac{1 − 1/4}{1 + 1/4} = \underline{\frac{3}{5}}

I grensen M_{1} → 0 ser vi at \underline{v → c}, som er rimelig: Masseløse objekter beveger seg med hastighet c.