Side 1 av 16

NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK

Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33

EKSAMEN FY1002 og TFY4160 BØLGEFYSIKK Torsdag 3. desember 2009 kl. 0900 - 1300 Bokmål

Hjelpemidler: C

• K. Rottmann: Matematisk formelsamling (alle språk).

• O. Øgrim og B. E. Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk, eller C. Angell og B. E. Lian: Fysiske størrelser og enheter.

• Typegodkjent kalkulator, med tomt minne, i henhold til liste utarbeidet av NTNU. (Citizen SR-270X eller HP30S.)

Side 2 – 6: Oppgaver Side 7 – 15: Formelsamling

Prøven består av 6 oppgaver. Det er angitt hvor mye de ulike oppgavene normalt vil telle under vurderingen. De prosentvise tallene summerer seg opp til 100 %. Hele denne prøven teller 80 % på sluttkarakteren. De resterende 20 % utgjøres av midtsemesterprøven som ble avholdt tidligere i høst.

Sensuren kommer senest 3. januar 2010.

Side 2 av 16

OPPGAVE 1 [teller 25 %]

Bruk SI-enheter og 3 gjeldende siffer for tallsvarene i denne oppgaven.

Moderne teknologi gjør det mulig å lage meget tynne og korte strenger. Et eksempel rapporteres i Applied Physics Letters 83, side 1240 (2003). Her er en platinastreng med lengde L = 1.30 μm og diameter d = 2R = 43.0 nm fastspent i begge ender. Platina har massetetthet ρ = 21.1 g/cm^{3}. En nøyaktig analyse av vibrasjoner på en slik ”faststoffstreng” er litt komplisert. Her skal vi ganske enkelt anta en strekk-kraft S = 2.28 μN og studere harmoniske transversale stående bølger på strengen, som er festet i x = 0 og x = L, med utsving i y-retningen.

a) Bestem platinastrengens masse M og dens masse μ pr lengdeenhet. Hva blir bølgehastigheten v for transversale bølger på en slik streng?

b) Vis at en superposisjon av en høyre- og en venstregående bølge, henholdsvis y_{1}(x, t) = y_{0} sin(kx − ωt) og y_{2}(x, t) = y_{0} sin(kx + ωt), blir en stående bølge

y(x, t) = A(x) cos ωt.

Bestem derved den posisjonsavhengige ”amplitudefunksjonen” A(x), og bruk grensebetingelsene y(0, t) = y(L, t) = 0 til å fastlegge bølgetall k_{n}, bølgelengder λ_{n} og tilhørende resonansfrekvenser f_{n} for stående bølger på strengen (n = 1, 2, 3, …). Både uttrykk og tallverdier skal bestemmes.

c) I eksperimentet vibrerer nanostrengen i den ”fundamentale moden”, dvs med den laveste resonansfrekvensen f_{1}. Maksimalt utsving på strengen ble anslått til 1 nm. Skisser utsvinget y(x, t) ved de tre tidspunktene 0, T_{1}/4 og T_{1}/2. (Her er T_{1} perioden.) Bestem strengens totale mekaniske energi E. Vi velger her nullnivå for potensiell energi når y = 0. (Tips: E = E_{k}^{max}, eventuelt E = E_{p}^{max}.)

OPPGAVE 2 [teller 15 %]

a) Figuren over viser normert intensitetsfordeling I(θ) for laserlys som har passert gjennom N parallelle spalter med spaltebredde a og spalteavstand d. Av symmetrigrunner er I(−θ) = I(θ). Laserens bølgelengde er λ = 600 nm. Bruk figuren til å bestemme N, a og d.

b) Vis at halvverdibredden Δθ ≃ (θ_{+} − θ_{−})/2 til nullte ordens hovedmaksimum avtar proporsjonalt med antall spalter N,

Δθ ≃ \frac{α}{N} ,

og fastlegg derved (den dimensjonsløse) størrelsen α. Her er θ_{+} > 0 og θ_{−} < 0 de to vinklene som gir første nullpunkt på hver sin side av nullte ordens maksimum ved θ = 0. Sett inn tallverdier i uttrykket for Δθ og sammenlign med halvverdibredden som du finner ved å lese av i figuren.

Oppgitt: sin x ≃ x − x^{3}/6 og arcsin x ≃ x når x ≪ 1.

OPPGAVE 3 [teller 15%]

Elektromagnetisk stråling fra en glødelampe sendes inn mot et diffraksjonsgitter med 2000 (meget smale) spalter pr cm. Strålingen inneholder alle bølgelengder i den synlige delen av spektret (som her antas å ligge mellom 400 og 700 nm), samt ultrafiolett (UV) stråling ned mot 200 nm og infrarød (IR) stråling opp mot flere tusen nm. Vi antar at bølger med en gitt bølgelengde er koherente etter at de har passert diffraksjonsgitteret.

a) Hva er diffraksjonsgitterets spalteavstand d?

b) Hva slags lys ser du på observasjonsskjermen i nullte ordens maksimum (dvs ved θ = 0)?

c) Hvilket vinkelområde (θ_{1}^{min}, θ_{1}^{max}) spenner synlig lys over i 1. ordens maksimum? Forklar hva du ser mellom θ_{1}^{min} og θ_{1}^{max}.

d) Synlig lys i 1. orden overlapper ikke med synlig lys i høyere ordner. Finn ut i hvilken grad 2. ordens maksimum overlapper med høyere ordner i det synlige området. Angi hvilke ordner, og i hvert tilfelle hvilket vinkelområde.

[Med maksima menes i denne oppgaven hovedmaksima. Sekundære maksima er uten betydning pga det store antallet spalter i diffraksjonsgitteret.] OPPGAVE 4 [teller 15%]

I denne oppgaven ser vi på tyngdebølger i grenseflaten mellom luft og vann. Disse oppfyller dispersjonsrelasjonen

ω(k) = \sqrt{gk tanh(kd)}.

Her er k bølgetallet, g tyngdens akselerasjon og d vannets dybde.

a) Finn et uttrykk for fasehastigheten v. Skisser v som funksjon av den dimensjonsløse størrelsen kd. Hva slags bølger beveger seg raskest, de langbølgede eller de kortbølgede? Hva blir maksimal bølgehastighet for en gitt dybde d?

b) Finn et uttrykk for dybden d, nærmere bestemt d uttrykt ved v, g og bølgelengden λ. Hvis du observerer at bølger med bølgelengde 2 m beveger seg med hastighet 1.7 m/s, hvor dypt er vannet da? (Bruk g = 9.8 m/s^{2}.)

Oppgitt:

tanh x = sinh x/ cosh x = (1 − exp(−2x))/(1 + exp(−2x))
tanh x ≃ x − x^{3}/3 for x ≪ 1
\sqrt{1 + x} ≃ 1 + x/2 for x ≪ 1

OPPGAVE 5 [teller 10 %]

En ideell gass bestående av toatomige molekyler presses sammen under adiabatiske forhold (dvs uten varmeutveksling med omgivelsene) slik at trykket øker til det dobbelte. Med hvilken faktor øker da lydhastigheten i gassen?

OPPGAVE 6 [teller 20 %]

All bevegelse foregår langs en rett linje i denne oppgaven. Alle svar kan uttrykkes ved de kjente størrelsene E_{0} og m, samt lyshastigheten c.

Et (masseløst) foton med energi E_{0} kolliderer med en partikkel med masse m:

a) Hvor stor hastighet v_{0} må partikkelen ha før kollisjonen for at fotonet fortsatt skal ha energien E_{0} etter kollisjonen?

b) Hva er partikkelens hastighet v_{1} etter kollisjonen?

c) Hva er systemets totale impuls p og energi E?

d) I punktene a – c ovenfor er alle størrelser målt i labsystemet. Hva er fotonets hastighet målt i partikkelens hvilesystem S_{0} før kollisjonen? Enn i partikkelens hvilesystem S_{1} etter kollisjonen?

Side 7 av 16

Formelsamling

Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent.

• Harmonisk plan bølge:

ξ(x, t) = ξ_{0} sin(kx − ωt + ϕ)
ξ(r, t) = ξ_{0} sin(k · r − ωt + ϕ)

• Bølgeligning:

\frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂t^{2}}

∇^{2}ξ(r, t) (≡ \frac{∂^{2}ξ}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}ξ}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}ξ}{∂z^{2}} ) = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}ξ(r, t)}{∂t^{2}}

• Fasehastighet:

v = \frac{ω}{k}

• Gruppehastighet:

v_{g} = \frac{dω}{dk}

• Generelt for ikkedispersive udempede bølger: v = \sqrt{\frac{elastisk modul}{massetetthet}}

• Generelt for lineær respons i elastiske medier: mekanisk spenning = elastisk modul × relativ tøyning

• For transversale bølger på streng:

v = \sqrt{\frac{S}{μ}}

• For longitudinale bølger i fluider:

v = \sqrt{\frac{B}{ρ}}

• For longitudinale bølger i faste stoffer:

v = \sqrt{\frac{Y}{ρ}}

Side 8 av 16

• Middelverdi av harmonisk varierende størrelse A(x, t), midlet over bølgelengde λ:

\overline{A} = \frac{∫_{0}^{λ} A(x, t) dx}{∫_{0}^{λ} dx} = \frac{1}{λ} ∫_{0}^{λ} A(x, t) dx

Middelverdi av harmonisk varierende størrelse A(x, t), midlet over periode T:

⟨A⟩ = \frac{∫_{0}^{T} A(x, t) dt}{∫_{0}^{T} dt} = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} A(x, t) dt

• Midlere energi pr lengdeenhet for harmonisk bølge på streng:

\overline{ε} = \frac{1}{2}μω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere energi pr volumenhet for harmonisk plan bølge:

\overline{ε} = \frac{1}{2}ρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere effekt transportert med harmonisk bølge på streng:

\overline{P} = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vμω^{2}ξ_{0}^{2}

• Intensitet i harmonisk plan bølge:

I = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere impulstetthet for harmonisk bølge:

\overline{π} = \frac{\overline{ε}}{v}

• Ideell gass:

pV = Nk_{B}T

• Varmekapasitet ved konstant trykk (Q = varme):

C_{p} = (\frac{dQ}{dT})_{p}

• Varmekapasitet ved konstant volum (Q = varme):

C_{V} = (\frac{dQ}{dT})_{V}

• Adiabatiske forhold (dvs ingen varmeutveksling): pV^{γ} = konstant

• Adiabatkonstanten:

γ = \frac{C_{p}}{C_{V}}

Gass med 1-atomige molekyler: γ = 5/3. Gass med 2-atomige molekyler: γ = 7/5.

• Bulkmodul for ideell gass ved adiabatiske forhold: B = γp

• Lydhastighet i gass (m = molekylmassen):

v = \sqrt{\frac{γp}{ρ}} = \sqrt{\frac{γk_{B}T}{m}}

• Lydtrykk:

Δp = −B \frac{∂ξ}{∂x}

• Lydnivå:

β(dB) = 10 log \frac{I}{I_{0}}

med I_{0} = 10^{−12} W/m^{2}

• Dopplereffekt for lydbølger:

ν_{O} = \frac{1 − v_{O}/v}{1 − v_{S}/v} ν_{S}

• For sjokkbølger gjelder:

sin α = \frac{v}{v_{S}}

• Transversal bølge på streng med massetetthet μ_{1} for x < 0 og μ_{2} for x > 0, innkommende bølge propagerer i positiv x-retning:

Amplitude for reflektert bølge:

y_{r0} = \frac{\sqrt{μ_{2}} − \sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0}

Amplitude for transmittert bølge:

y_{t0} = \frac{2\sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0}

Refleksjonskoeffisient:

R = \begin{matrix}\overline{P} & r \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Transmisjonskoeffisient:

T = \begin{matrix}\overline{P} & t \\ \overline{P} & i \end{matrix}

• Plan lydbølge normalt inn mot grenseflate i x = 0 mellom to medier med elastiske moduler og massetettheter henholdsvis E_{1}, ρ_{1} (for x < 0) og E_{2}, ρ_{2} (for x > 0), innkommende bølge propagerer i positiv x-retning:

Amplitude for reflektert bølge:

ξ_{r0} = \frac{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} − \sqrt{ρ_{1}E_{1}}}{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} + \sqrt{ρ_{1}E_{1}}} ξ_{i0}

Amplitude for transmittert bølge:

ξ_{t0} = \frac{2\sqrt{ρ_{1}E_{1}}}{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} + \sqrt{ρ_{1}E_{1}}} ξ_{i0}

Refleksjonskoeffisient:

R = \begin{matrix}\overline{P} & r \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Transmisjonskoeffisient:

T = \begin{matrix}\overline{P} & t \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Side 11 av 16

• Maxwells ligninger på integralform:

∮ E · dA = q/ε_{0}
∮ B · dA = 0

∮ E · dl = −\frac{d}{dt} ∫ B · dA

∮ B · dl = μ_{0}I + μ_{0}ε_{0} \frac{d}{dt} ∫ E · dA

• Maxwells ligninger på differensialform: ∇ · E = ρ/ε_{0} ∇ · B = 0

∇ × E = −\frac{∂B}{∂t}

∇ × B = μ_{0}j + μ_{0}ε_{0} \frac{∂E}{∂t}

• Lorentzkraften:

F = q (E + v × B)

• Bølgeligning for E og B i vakuum:

∇^{2}E = \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}E}{∂t^{2}}

∇^{2}B = \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}B}{∂t^{2}}

c = 1/\sqrt{ε_{0}μ_{0}}

• Energitetthet i elektromagnetisk felt:

u = u_{E} + u_{B} = \frac{1}{2}ε_{0}E^{2} + \frac{1}{2μ_{0}} B^{2}

• Intensitet i elektromagnetisk bølge:

I = cε_{0}\overline{E^{2}} = cε_{0}⟨E^{2}⟩

• Poyntings vektor:

S = \frac{1}{μ_{0}} E × B

• Impuls i elektromagnetisk bølge:

π = μ_{0}ε_{0}S

Side 12 av 16

• Elektrisk dipolmoment:

p = qd

• Magnetisk dipolmoment:

m = IA

• Midlere utstrålt effekt fra oscillerende elektrisk dipol p_{0} cos(ωt):

⟨P ⟩ = \frac{p_{0}^{2}ω^{4}}{12πε_{0}c^{3}}

• Midlere utstrålt effekt fra oscillerende magnetisk dipol m_{0} cos(ωt):

⟨P ⟩ = \frac{μ_{0}m_{0}^{2}ω^{4}}{12πc^{3}}

• Malus’ lov:

I(θ) = I_{0} cos^{2} θ

• Lineære medier:

P = ε_{0}χ_{e}E
D = ε_{0}E + P = ε_{0}(1 + χ_{e})E = ε_{0}ε_{r}E = εE
M = χ_{m}H
B = μ_{0}H + M = μ_{0}(1 + χ_{m})H = μ_{0}μ_{r}H = μH
∮ D · dA = q_{fri}
∮ B · dA = 0
∮ E · dl = −\frac{d}{dt} ∫ B · dA
∮ H · dl = I_{fri} + \frac{d}{dt} ∫ D · dA
∇ · D = ρ_{fri}
∇ · B = 0
∇ × E = −\frac{∂B}{∂t}
∇ × H = j_{fri} + \frac{∂D}{∂t}
u = \frac{1}{2}εE^{2} + \frac{1}{2μ}B^{2}
S = \frac{1}{μ}E × B

Side 13 av 16

• For elektromagnetiske bølger i medier (q_{fri} = I_{fri} = 0):

∇^{2}E = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}E}{∂t^{2}}
∇^{2}B = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}B}{∂t^{2}}
v = \frac{1}{\sqrt{εμ}} = \frac{c}{\sqrt{ε_{r}μ_{r}}} = \frac{c}{n}

• Grenseflatebetingelser (q_{fri} = I_{fri} = 0 i grenseflaten):

ΔD_{⊥} = 0
ΔE_{∥} = 0
ΔB_{⊥} = 0
ΔH_{∥} = 0

• Refleksjon og brytning:

θ_{r} = θ_{i}
n_{1} sin θ_{i} = n_{2} sin θ_{t}

• Youngs eksperiment med to smale spalter:

I(θ) = 4I_{0} cos^{2} (\frac{πd}{λ} sin θ)

• Diffraksjonsgitter med N smale spalter:

I(θ) = I_{0} sin^{2} (\frac{Nπd}{λ} sin θ) ; sin^{2} (\frac{πd}{λ} sin θ)

• Diffraksjon fra en spalte:

I(θ) = I(0) \begin{matrix}sin & 2 & (\frac{πa}{λ} sin θ) \\ (\frac{πa}{λ} sin θ) & 2 \end{matrix}

• Diffraksjon fra N spalter, spaltebredde a, spalteavstand d:

I(θ) = Î sin^{2} (\frac{πa}{λ} sin θ) ; (\frac{πa}{λ} sin θ)^{2} · sin^{2} (\frac{Nπd}{λ} sin θ) ; sin^{2} (\frac{πd}{λ} sin θ)

Side 14 av 16

• Lorentzfaktor:

γ = (1 − v^{2}/c^{2})^{−1/2}

• Lorentztransformasjonene (\overline{S} har hastighet v = vx̂ i forhold til S):

\overline{x} = γ (x − vt)
\overline{y} = y
\overline{z} = z
\overline{t} = γ (t − \frac{v}{c^{2}} x)
x = γ (\overline{x} + v\overline{t})
y = \overline{y}
z = \overline{z}
t = γ (\overline{t} + \frac{v}{c^{2}} \overline{x})

• Tidsdilatasjon:

Δt = γΔ\overline{t}

• Lengdekontraksjon:

Δ\overline{x} = γΔx

• Hastighet i S (u = u_{x}x̂ + u_{y}ŷ + u_{z}ẑ):

u_{x} = dx/dt
u_{y} = dy/dt
u_{z} = dz/dt

Hastighet i \overline{S} (\overline{u} = \overline{u}_{x}x̂ + \overline{u}_{y}ŷ + \overline{u}_{z}ẑ):

\overline{u}_{x} = d\overline{x}/d\overline{t}
\overline{u}_{y} = d\overline{y}/d\overline{t}
\overline{u}_{z} = d\overline{z}/d\overline{t}

• Addisjon av hastigheter (alle hastigheter i samme retning):

v_{AC} = \frac{v_{AB} + v_{BC}}{1 + v_{AB}v_{BC}/c^{2}}

• Dopplereffekt for elektromagnetiske bølger:

\overline{ν} = ν (\frac{c − v}{c + v} )^{1/2}

Side 15 av 16

• Relativistisk impuls:

p = γmv

• Newtons 2. lov:

F = \frac{dp}{dt}

• Energi:

E = γmc^{2}
E_{0} = mc^{2}
E_{k} = E − E_{0}
E^{2} = (pc)^{2} + (mc^{2})^{2}

• Elastisk prosess: E, p, E_{k} og m bevart.

• Uelastisk prosess: E og p bevart.

Side 16 av 16

GOD JUL!