Institutt for fysikk, NTNU FY1002/TFY4160 Bølgefysikk Høst 2009

Midtsemesterprøve Bølgefysikk Fredag 20. november 2009 kl 0815 – 1015.

Merk av svarene dine på side 15. Lever inn alle 15 sidene. Husk å skrive på studentnummer (eller kandidatnummer).

Tillatte hjelpemidler: C

• K. Rottmann: Matematisk formelsamling. (Eller tilsvarende.)

• O. Øgrim og B. E. Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk eller B. E. Lian og C. Angell: Fysiske størrelser og enheter.

• Typegodkjent kalkulator, med tomt minne, i henhold til liste utarbeidet av NTNU. (HP30S eller lignende.)

• Formelsamling i bølgefysikk er inkludert på de neste 7 sidene.

Opplysninger:

• Prøven består av 25 oppgaver. Hver oppgave har ett riktig og tre gale svaralternativ.

• Du skal krysse av for ett svaralternativ på hver oppgave. Avkryssing for mer enn ett alternativ eller ingen alternativ betraktes som feil svar og gir i begge tilfelle null poeng.

• Noen verdier: Tyngdens akselerasjon: g = 9.8 m/s^{2}, Boltzmanns konstant: k_{B} = 1.38 · 10^{−23} J/K, Avogadros tall: N_{A} = 6 · 10^{23}, Protonmassen: m_{p} = 1.67 · 10^{−27} kg. Nøytronmassen: m_{n} = 1.67 · 10^{−27} kg. Vakuumpermittiviteten: ε_{0} = 8.85 · 10^{−12} F/m. Vakuumpermeabiliteten: μ_{0} = 4π · 10^{−7} H/m.

• Symboler angis i kursiv (f.eks m for masse) mens enheter angis uten kursiv (f.eks m for meter). Vektorer angis med fete symboler. Enhetsvektorer angis med hatt over.

• SI-prefikser: T (tera) = 10^{12}, G (giga) = 10^{9}, M (mega) = 10^{6}, k (kilo) = 10^{3}, c (centi) = 10^{−2}, m (milli) = 10^{−3}, μ (mikro) = 10^{−6}, n (nano) = 10^{−9}, p (piko) = 10^{−12}.

Formelsamling Bølgefysikk

Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent.

• Harmonisk plan bølge:

ξ(x, t) = ξ_{0} sin(kx − ωt + ϕ)

• Bølgeligning:

\frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂t^{2}}

• Fasehastighet:

v = \frac{ω}{k}

• Gruppehastighet:

v_{g} = \frac{dω}{dk}

• Generelt for ikkedispersive udempede bølger: v = \sqrt{\frac{elastisk modul}{massetetthet}}

• Generelt for lineær respons i elastiske medier: mekanisk spenning = elastisk modul × relativ tøyning

• For transversale bølger på streng:

v = \sqrt{\frac{S}{μ}}

• For longitudinale bølger i fluider:

v = \sqrt{\frac{B}{ρ}}

• For longitudinale bølger i faste stoffer:

v = \sqrt{\frac{Y}{ρ}}

• Midlere energi pr lengdeenhet for harmonisk bølge på streng:

\overline{ε} = \frac{1}{2}μω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere energi pr volumenhet for harmonisk plan bølge:

\overline{ε} = \frac{1}{2}ρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere effekt transportert med harmonisk bølge på streng:

\overline{P} = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vμω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere intensitet i harmonisk plan bølge:

I = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere impulstetthet for harmonisk bølge:

\overline{π} = \frac{\overline{ε}}{v}

• Ideell gass:

pV = Nk_{B}T

• Varmekapasitet ved konstant trykk (Q = varme):

C_{p} = (\frac{dQ}{dT})_{p}

• Varmekapasitet ved konstant volum (Q = varme):

C_{V} = (\frac{dQ}{dT})_{V}

• Adiabatiske forhold (dvs ingen varmeutveksling): pV^{γ} = konstant

• Adiabatkonstanten:

γ = \frac{C_{p}}{C_{V}}

Gass med 1-atomige molekyler: γ = 5/3. Gass med 2-atomige molekyler: γ = 7/5.

• Bulkmodul for ideell gass ved adiabatiske forhold: B = γp

• Lydhastighet i gass (m = molekylmassen):

v = \sqrt{\frac{γp}{ρ}} = \sqrt{\frac{γk_{B}T}{m}}

• Lydtrykk:

Δp = −B \frac{∂ξ}{∂x}

• Lydnivå:

β(dB) = 10 log \frac{I}{I_{0}}

med I_{0} = 10^{−12} W/m^{2}

• Dopplereffekt:

ν_{O} = \frac{1 − v_{O}/v}{1 − v_{S}/v} ν_{S}

• For sjokkbølger:

sin α = \frac{v}{v_{S}}

• Transversal bølge på streng med massetetthet μ_{1} for x < 0 og μ_{2} for x > 0, innkommende bølge propagerer i positiv x-retning:

Amplitude for reflektert bølge:

y_{r0} = \frac{\sqrt{μ_{2}} − \sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0}

Amplitude for transmittert bølge:

y_{t0} = \frac{2\sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0}

Refleksjonskoeffisient:

R = \begin{matrix}\overline{P} & r \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Transmisjonskoeffisient:

T = \begin{matrix}\overline{P} & t \\ \overline{P} & i \end{matrix}

• Plan lydbølge normalt inn mot grenseflate i x = 0 mellom to medier med elastiske moduler og massetettheter henholdsvis E_{1}, ρ_{1} (for x < 0) og E_{2}, ρ_{2} (for x > 0), innkommende bølge propagerer i positiv x-retning:

Amplitude for reflektert bølge:

ξ_{r0} = \frac{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} − \sqrt{ρ_{1}E_{1}}}{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} + \sqrt{ρ_{1}E_{1}}} ξ_{i0}

Amplitude for transmittert bølge:

ξ_{t0} = \frac{2\sqrt{ρ_{1}E_{1}}}{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} + \sqrt{ρ_{1}E_{1}}} ξ_{i0}

Refleksjonskoeffisient:

R = \begin{matrix}\overline{P} & r \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Transmisjonskoeffisient:

T = \begin{matrix}\overline{P} & t \\ \overline{P} & i \end{matrix}

• Maxwells ligninger på integralform:

∮ E · dA = q/ε_{0}
∮ B · dA = 0

∮ E · dl = −\frac{d}{dt} ∫ B · dA

∮ B · dl = μ_{0}I + μ_{0}ε_{0} \frac{d}{dt} ∫ E · dA

• Maxwells ligninger på differensialform: ∇ · E = ρ/ε_{0} ∇ · B = 0

∇ × E = −\frac{∂B}{∂t}

∇ × B = μ_{0}j + μ_{0}ε_{0} \frac{∂E}{∂t}

• Lorentzkraften:

F = q (E + v × B)

• Bølgeligning for E og B i vakuum:

∇^{2}E = \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}E}{∂t^{2}}

∇^{2}B = \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}B}{∂t^{2}}

c = 1/\sqrt{ε_{0}μ_{0}}

• Energitetthet i elektromagnetisk felt:

u = u_{E} + u_{B} = \frac{1}{2}ε_{0}E^{2} + \frac{1}{2μ_{0}} B^{2}

• Intensitet i elektromagnetisk bølge:

I = cε_{0}\overline{E^{2}} = cε_{0}⟨E^{2}⟩

• Poyntings vektor:

S = \frac{1}{μ_{0}} E × B

• Impulstetthet i elektromagnetisk bølge: π = μ_{0}ε_{0}S • Elektrisk dipolmoment:

p = qd

• Magnetisk dipolmoment:

m = IA

• Midlere utstrålt effekt fra oscillerende elektrisk dipol p_{0} cos(ωt):

⟨P ⟩ = \frac{p_{0}^{2}ω^{4}}{12πε_{0}c^{3}}

• Midlere utstrålt effekt fra oscillerende magnetisk dipol m_{0} cos(ωt):

⟨P ⟩ = \frac{μ_{0}m_{0}^{2}ω^{4}}{12πc^{3}}

• Malus’ lov:

I(θ) = I_{0} cos^{2} θ

• Lineære medier:

P = ε_{0}χ_{e}E
D = ε_{0}E + P = ε_{0}(1 + χ_{e})E = ε_{0}ε_{r}E = εE
M = χ_{m}H
B = μ_{0}H + M = μ_{0}(1 + χ_{m})H = μ_{0}μ_{r}H = μH

• Maxwells ligninger etc:

∮ D · dA = q_{fri}
∮ B · dA = 0
∮ E · dl = −\frac{d}{dt} ∫ B · dA
∮ H · dl = I_{fri} + \frac{d}{dt} ∫ D · dA
∇ · D = ρ_{fri}
∇ · B = 0
∇ × E = −\frac{∂B}{∂t}
∇ × H = j_{fri} + \frac{∂D}{∂t}

• Energitetthet, Poyntings vektor:

u = \frac{1}{2}εE^{2} + \frac{1}{2μ}B^{2}
S = \frac{1}{μ}E × B

• For elektromagnetiske bølger i medier (q_{fri} = I_{fri} = 0):

∇^{2}E = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}E}{∂t^{2}}
∇^{2}B = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}B}{∂t^{2}}
v = \frac{1}{\sqrt{εμ}} = \frac{c}{\sqrt{ε_{r}μ_{r}}} = \frac{c}{n}

• Grenseflatebetingelser (q_{fri} = I_{fri} = 0 i grenseflaten):

ΔD_{⊥} = 0
ΔE_{∥} = 0
ΔB_{⊥} = 0
ΔH_{∥} = 0

• Refleksjon og brytning:

θ_{r} = θ_{i}
n_{1} sin θ_{i} = n_{2} sin θ_{t}

• Youngs eksperiment med to smale spalter:

I(θ) = 4I_{0} cos^{2} (\frac{πd}{λ} sin θ)

• Diffraksjonsgitter med N smale spalter:

I(θ) = I_{0} sin^{2} (\frac{Nπd}{λ} sin θ) ; sin^{2} (\frac{πd}{λ} sin θ)

• Diffraksjon fra en spalte:

I(θ) = I(0) \begin{matrix}sin & 2 & (\frac{πa}{λ} sin θ) \\ (\frac{πa}{λ} sin θ) & 2 \end{matrix}

• Diffraksjon fra N spalter, spaltebredde a, spalteavstand d:

I(θ) = Î sin^{2} (\frac{πa}{λ} sin θ) ; (\frac{πa}{λ} sin θ)^{2} · sin^{2} (\frac{Nπd}{λ} sin θ) ; sin^{2} (\frac{πd}{λ} sin θ)

Oppgaver

1) En masse er festet til ei fjær og utfører udempede harmoniske svingninger. Massens maksimale hastighet er 5 cm/s og dens maksimale akselerasjon er 50 cm/s^{2}. Hva er da massens maksimale utsving fra likevekt?

A 0.5 cm
B 5.0 cm
C 10.0 cm
D 25 cm

Figuren viser et øyeblikksbilde av (en del av) en harmonisk transversal bølge som forplanter seg på en streng. Dvs, y(x) angir utsvinget fra likevekt. Strengen er strukket med en kraft 160 N og har en masse pr lengdeenhet 100 g/m.

2) Hva er hastigheten til bølgen i figuren over?

A 40 cm/s
B 4 m/s
C 40 m/s
D 400 m/s

3) Hvilken frekvens har bølgen i figuren over?

A 16 Hz
B 80 Hz
C 140 Hz
D 1080 Hz

4) Karbondioksyd, CO_{2}, er et lineært molekyl, som vist i figuren over. Vi antar at kreftene mellom karbon og oksygen kan beskrives ved hjelp av ideelle fjærer med fjærkonstant k. Atomene kan svinge harmonisk omkring sine likevektsposisjoner i fire såkalte ”normale moder”. En av disse normale modene er antydet i figuren. Her svinger oksygenatomene (masse m_{O} = M = 4m/3) i samme retning (med lik amplitude), mens karbonatomet (masse m_{C} = m) svinger i motsatt retning av oksygenatomene. Hva er vinkelfrekvensen ω til denne vibrasjonsbevegelsen? (Tips: Molekylets massesenter ligger i ro under vibrasjonsbevegelsen. Bruk dette til å finne fjærenes strekk og sammenpressing når karbonatomets utsving fra likevekt er x_{C}. Newtons 2. lov gir deretter vinkelfrekvensen ω.)

A \sqrt{9k/17m}  B \sqrt{k/m}  C \sqrt{3k/2m}  D \sqrt{11k/8m}

5) Aluminium har massetetthet 2700 kg/m^{3} og elastisitetsmodul (Youngs modul) 70 GPa. Hva er da lydhastigheten i ei tynn aluminiumstang? (1 Pa = 1 N/m^{2})

A 1.1 km/s  B 3.2 km/s  C 5.1 km/s  D 7.7 km/s

6) En streng på en kontrabass har lengde 75 cm og er festet i begge ender. Strekket i strengen er 173 N, og massen er 6.0 g. Hva er strengens tredje laveste resonansfrekvens (dvs 2. overtone)?

A 294 Hz  B 555 Hz  C 738 Hz  D 915 Hz

7) Et tynt rør, som er åpent i en ende og lukket i den andre enden, skal brukes til å lage stående lydbølger med frekvens 550 Hz. Dette skal være rørets grunntone. Hvor langt må da røret være? Lydhastigheten er 340 m/s.

A 15.5 cm  B 50.8 cm  C 99.2 cm  D 123.4 cm

8) Hva innebærer det at et system er dispersivt?

A At bølger i systemet er dempet.
B At bølger i systemet er longitudinale.
C At bølgehastigheten varierer med amplituden.
D At bølgehastigheten varierer med bølgelengden.

9) Din venn skrur opp lyden på forsterkeren slik at utsendt effekt økes med en faktor ti. Hva blir den tilsvarende økningen i lydnivået?

A 1 dB  B 10 dB  C 20 dB  D 30 dB

10) Vi betrakter en transversal harmonisk bølge på en streng, med liten amplitude (i forhold til bølgelengden). Hvilken av figurene nedenfor viser hvordan fasehastigheten v_{f} og gruppehastigheten v_{g} avhenger av bølgens vinkelfrekvens ω?

11) Hvitt lys som er polarisert i x-retning, propagerer i z-retning, og treffer på et spredende medium (som f.eks. atmosfæren). Hvilken påstand om det spredte lyset er da direkte feil?

A: Størst intensitet i yz-planet. B: Stor grad av polarisering i y- og z-retning. C: En intensitet som avtar med bølgelengden opphøyd i fjerde potens. D: Tilnærmet null intensitet i x-retning.

12) En fin høstkveld ser du månen speile seg ute på en innsjø. Du anslår månelysets innfallsvinkel til et sted mellom 50 og 55 grader. Hva kan du da si om lyset som reflekteres på vannoverflaten?

A: Det er i stor grad sirkulærpolarisert. B: Det er i stor grad polarisert normalt på innfallsplanet. C: Det er i stor grad elliptisk polarisert. D: Det er fullstendig upolarisert.

13) Koherent laserlys sammensatt av to bølgelengder, 450 nm (blått) og 675 nm (orange), sendes inn mot et diffraksjonsgitter med et stort antall meget smale spalter. Dette resulterer i et såkalt linjespektrum, der vi normalt bruker betegnelsen linjer i stedet for hovedmaksima. (Såkalte bimaksima kan vi se bort fra her.) Hvilken påstand er da korrekt vedrørende linjespektrene som observeres på en skjerm langt unna diffraksjonsgitteret?

A: Blått og orange lys vil ha samtlige linjer sammenfallende. B: Blått og orange lys vil ikke ha noen sammenfallende linjer. C: Hver tredje linje for blått lys vil falle sammen med hver andre linje for orange lys. D: Hver andre linje for blått lys vil falle sammen med hver tredje linje for orange lys.

14) Koherent laserlys med bølgelengde 600 nm passerer gjennom 4 parallelle spalter og resulterer i en intensitetsfordeling I(y) på en skjerm i avstand L = 100 cm fra spaltene, se figuren nedenfor. Vi har da sammenhengen y = L tan θ, der θ tilsvarer vinkelavviket i forhold til rett fram. Hvilken kombinasjon av spaltebredde a og (senter–til–senter) spalteavstand d er benyttet i eksperimentet?

A: a = 0.02 mm, d = 0.06 mm B: a = 0.02 mm, d = 0.20 mm C: a = 0.10 mm, d = 0.30 mm D: a = 0.10 mm, d = 0.50 mm

15) I en plan harmonisk elektromagnetisk bølge som forplanter seg i vakuum har det elektriske feltet en amplitude 3 V/m. Hva er da amplituden til bølgens magnetfelt?

A 9 · 10^{8} T
B 10^{−8} T
C 3 T
D 1.73 T

16) Himmelen er blå fordi

A sola sender ut bare blått lys.
B molekylene i atmosfæren sprer lys med høy frekvens mest.
C atmosfæren inneholder mye karbondioksyd.
D atmosfæren reflekterer lyset fra blå alger i havet.

17) Fra Maxwells ligninger kan man utlede at

A tangentialkomponenten av E og normalkomponenten av B
B tangentialkomponenten av B og normalkomponenten av E
C tangentialkomponenten av E og tangentialkomponenten av B
D normalkomponenten av E og normalkomponenten av B

er kontinuerlige i grenseflaten mellom to dielektriske medier.

18) Hva betyr det at to lyskilder er koherente?

A At de sender ut lysbølger med en fast innbyrdes fasesammenheng.
B At de sender ut lysbølger med samme intensitet.
C At de sender ut synlig lys.
D At de sender ut lysbølger med samme polarisasjonsretning.

19) I en plan monokromatisk bølge har det elektriske feltet amplitude 3 V/m. Denne bølgen faller normalt inn mot en vegg som absorberer bølgen fullstendig. Hvor stort strålingstrykk blir veggen utsatt for?

A 40 N/m^{2}
B 40 N/mm^{2}
C 40 N/μm^{2}
D 40 N/nm^{2}

20) Laserlys med bølgelengde 632.8 nm faller normalt inn mot en vegg med to svært smale parallelle spalter med innbyrdes avstand 0.10 mm. Hva blir avstanden mellom linjene med null intensitet som ligger på hver sin side av nullte ordens intensitetsmaksimum når interferensmønsteret observeres på en skjerm i avstand 5.0 m fra veggen med de to spaltene?

A 64 cm
B 32 cm
C 64 mm
D 32 mm

21) Hvilken påstand er feil?

A Grunnen til at vi ser adskilte farger i regnbuen er dispersjon.
B Total refleksjon er mulig på begge sider av en grenseflate mellom

to dielektriske medier.

C Lysets hastighet er mindre i vann enn i luft.
D Lys som reflekteres med refleksjonsvinkel lik Brewsters vinkel er fullstendig

polarisert normalt på innfallsplanet.

22) Hva er bølgelengden til lys med frekvens 520 THz i glass med brytningsindeks 1.60?

A 577 nm
B 456 nm
C 361 nm
D 225 nm

23) Hva er sammenhengen mellom ω, k, E og B i en monokromatisk elektromagnetisk bølge?

\begin{matrix}A & k × E = ωB \\ B & k × B = ωE \\ C & k · E = ω|B| \\ D & k · B = ω|E| \end{matrix}

24) En punktformet lyskilde er plassert midt på bunnen av et basseng med dybde d. Bassenget har kvadratisk form med sidekanter L. Vannet i bassenget har brytningsindeks 1.33. Hva blir kriteriet for at hele bassengets overflate skal slippe ut lys fra punktkilden på bunnen?

\begin{matrix}A & d/L ≥ 1.12 \\ B & d/L ≥ 0.62 \\ C & d/L ≤ 0.62 \\ D & d/L ≤ 1.12 \end{matrix}

25) En monokromatisk lysstråle treffer ei dielektrisk kule med radius R i avstand \sqrt{3}R/2 fra linjen som går gjennom kulas sentrum. Den delen av lysstrålen som passerer gjennom kula uten noen indre refleksjoner har endret sin retning med 30^{∘}. Hva er kulas brytningsindeks? (Det omgivende mediet er luft, med brytningsindeks 1.)

\begin{matrix}A & \sqrt{3/2} \\ B & \sqrt{4/3} \\ C & \sqrt{5/4} \\ D & \sqrt{6/5} \end{matrix}

Institutt for fysikk, NTNU

FY1002/TFY4160 Bølgefysikk

Midtsemesterprøve fredag 20. november 2009 kl 0815 – 1015.

Emnekode: Studentnummer:

Oppgave  A  B  C  D  Oppgave  A  B  C  D
1  14
2  15
3  16
4  17
5  18
6  19
7  20
8  21
9  22
10  23
11  24
12  25

13

NB: Kontroller at du har satt ETT kryss for hver av de 25 oppgavene.