Side 1 av 16

NOREGS TEKNISK-NATURVITSKAPLEGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK

Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33

EKSAMEN FY1002 og TFY4160 BØLGEFYSIKK Torsdag 3. desember 2009 kl. 0900 - 1300 Nynorsk

Hjelpemiddel: C

• K. Rottmann: Matematisk formelsamling (alle språk).

• O. Øgrim og B. E. Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk, eller C. Angell og B. E. Lian: Fysiske størrelser og enheter.

• Typegodkjend kalkulator, med tomt minne, i henhold til liste utarbeidd av NTNU. (Citizen SR-270X eller HP30S.)

Side 2 – 6: Oppgåver Side 7 – 15: Formelsamling

Prøva består av 6 oppgåver. Det er angitt kor mykje dei ulike oppgåvene normalt vil telje under vurderinga. Dei prosentvise tala summerer seg opp til 100 %. Heile denne prøva tel 80 % på sluttkarakteren. Dei resterande 20 % vert utgjorde av midtsemesterprøva som vart arrangert tidlegare i haust.

Sensuren kjem seinast 3. januar 2010.

Side 2 av 16

OPPGÅVE 1 [tel 25 %]

Bruk SI-eininger og 3 gjeldande siffer for talsvara i denne oppgåva.

Moderne teknologi gjer det mogleg å laga meget tynne og korte strenger. Eit døme vert rapportert i Applied Physics Letters 83, side 1240 (2003). Her er ein platinastreng med lengd L = 1.30 μm og diameter d = 2R = 43.0 nm fastspent i begge ender. Platina har massetettleik ρ = 21.1 g/cm^{3}. Ei grundig analyse av vibrasjonar på ein slik ”faststoffstreng” er litt komplisert. Her skal vi ganske enkelt anta ei strekk-kraft S = 2.28 μN og studere harmoniske transversale ståande bølgjer på strengen, som er festa i x = 0 og x = L, med utsving i y-retninga.

a) Bestem platinastrengen sin masse M og dens masse μ pr lengdeining. Kva blir bølgjefarten v for transversale bølgjer på ein slik streng?

b) Vis at ein superposisjon av ei høgre- og ei venstregåande bølgje, henholdsvis y_{1}(x, t) = y_{0} sin(kx − ωt) og y_{2}(x, t) = y_{0} sin(kx + ωt), blir ei ståande bølgje

y(x, t) = A(x) cos ωt.

Bestem derved den posisjonsavhengige ”amplitudefunksjonen” A(x), og bruk grensevilkåra y(0, t) = y(L, t) = 0 til å fastleggje bølgjetal k_{n}, bølgjelengder λ_{n} og tilhøyrande resonansfrekvenser f_{n} for ståande bølgjer på strengen (n = 1, 2, 3, …). Både uttrykk og talverdier skal bestemmast.

c) I eksperimentet vibrerer nanostrengen i den ”fundamentale moden”, dvs med den lågaste resonansfrekvensen f_{1}. Maksimalt utsving på strengen vart anslått til 1 nm. Skisser utsvinget y(x, t) ved dei tre tidspunkta 0, T_{1}/4 og T_{1}/2. (Her er T_{1} perioden.) Bestem strengen sin totale mekaniske energi E. Vi vel her nullnivå for potensiell energi når y = 0. (Tips: E = E_{k}^{max}, eventuelt E = E_{p}^{max}.)

OPPGÅVE 2 [tel 15 %]

a) Figuren over syner normert intensitetsfordeling I(θ) for laserlys som har passert gjennom N parallelle spalter med spaltebreidd a og spalteavstand d. Av symmetrigrunner er I(−θ) = I(θ). Laseren si bølgjelengd er λ = 600 nm. Bruk figuren til å bestemme N, a og d.

b) Vis at halvverdibreidda Δθ ≃ (θ_{+} − θ_{−})/2 til nullte ordens hovedmaksimum avtek proporsjonalt med antal spalter N,

Δθ ≃ \frac{α}{N} ,

og fastlegg derved (den dimensjonslause) storleiken α. Her er θ_{+} > 0 og θ_{−} < 0 dei to vinklane som gjev første nullpunkt på kvar si side av nullte ordens maksimum ved θ = 0. Sett inn talverdier i uttrykket for Δθ og samanlikn med halvverdibreidda som du finn ved å lese av i figuren.

Oppgitt: sin x ≃ x − x^{3}/6 og arcsin x ≃ x når x ≪ 1.

OPPGÅVE 3 [tel 15%]

Elektromagnetisk stråling frå ei glødelampe vert sendt inn mot eit diffraksjonsgitter med 2000 (meget smale) spalter pr cm. Strålinga inneheld alle bølgjelengder i den synlege delen av spektret (som ein her kan anta ligg mellom 400 og 700 nm), samt ultrafiolett (UV) stråling ned mot 200 nm og infraraud (IR) stråling opp mot fleire tusen nm. Vi antek at bølgjer med ei gitt bølgjelengd er koherente etter at dei har passert diffraksjonsgitteret.

a) Kva er diffraksjonsgitterets spalteavstand d?

b) Kva slags lys ser du på observasjonsskjermen i nullte ordens maksimum (dvs ved θ = 0)?

c) Kva for vinkelområde (θ_{1}^{min}, θ_{1}^{max}) spenner synleg lys over i 1. ordens maksimum? Forklar kva du ser mellom θ_{1}^{min} og θ_{1}^{max}.

d) Synleg lys i 1. orden overlapper ikkje med synleg lys i høgare ordner. Finn ut i kva for grad 2. ordens maksimum overlapper med høgre ordner i det synlege området. Angi kva for ordner, og i kvart tilfelle kva for vinkelområde.

[Med maksima meiner vi i denne oppgåva hovedmaksima. Sekundære maksima er utan betydning pga det store antalet spalter i diffraksjonsgitteret.] OPPGÅVE 4 [tel 15%]

I denne oppgåva ser vi på tyngdebølgjer i grenseflata mellom luft og vann. Disse oppfyller dispersjonsrelasjonen

ω(k) = \sqrt{gk tanh(kd)}.

Her er k bølgjetalet, g tyngden sin akselerasjon og d vatnet si djupne.

a) Finn eit uttrykk for fasefarten v. Skisser v som funksjon av den dimensjonslause storleiken kd. Kva slags bølgjer beveger seg raskast, dei langbølgja eller dei kortbølgja? Kva blir maksimal bølgjefart for ei gitt djupne d?

b) Finn eit uttrykk for djupna d, nærare bestemt d uttrykt ved v, g og bølgjelengda λ. Hvis du observerer at bølgjer med bølgjelengd 2 m beveger seg med fart 1.7 m/s, kor djupt er vatnet da? (Bruk g = 9.8 m/s^{2}.)

Oppgitt:

tanh x = sinh x/ cosh x = (1 − exp(−2x))/(1 + exp(−2x))
tanh x ≃ x − x^{3}/3 for x ≪ 1
\sqrt{1 + x} ≃ 1 + x/2 for x ≪ 1

OPPGÅVE 5 [tel 10 %]

Ein ideell gass beståande av toatomige molekyl vert pressa saman under adiabatiske tilhøve (dvs utan varmeutveksling med omgjevnadane) slik at trykket auker til det dobbelte. Med kva for faktor auker da lydhastigheten i gassen?

OPPGÅVE 6 [tel 20 %]

All rørsle foregår langs ei rett linje i denne oppgåva. Alle svar kan uttrykkjast ved dei kjende storleikene E_{0} og m, samt lysfarten c.

Eit (masselaust) foton med energi E_{0} kolliderer med ein partikkel med masse m:

a) Kor stor fart v_{0} må partikkelen ha før kollisjonen for at fotonet framleis skal ha energien E_{0} etter kollisjonen?

b) Kva er partikkelen sin fart v_{1} etter kollisjonen?

c) Kva er systemet sin totale impuls p og energi E?

d) I punktene a – c ovanfor er alle storleiker målt i labsystemet. Kva er fotonet sin fart målt i partikkelen sitt kvilesystem S_{0} før kollisjonen? Enn i partikkelen sitt kvilesystem S_{1} etter kollisjonen?

Side 7 av 16

Formelsamling

Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent.

• Harmonisk plan bølge:

ξ(x, t) = ξ_{0} sin(kx − ωt + ϕ)
ξ(r, t) = ξ_{0} sin(k · r − ωt + ϕ)

• Bølgeligning:

\frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂t^{2}}

∇^{2}ξ(r, t) (≡ \frac{∂^{2}ξ}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}ξ}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}ξ}{∂z^{2}} ) = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}ξ(r, t)}{∂t^{2}}

• Fasehastighet:

v = \frac{ω}{k}

• Gruppehastighet:

v_{g} = \frac{dω}{dk}

• Generelt for ikkedispersive udempede bølger: v = \sqrt{\frac{elastisk modul}{massetetthet}}

• Generelt for lineær respons i elastiske medier: mekanisk spenning = elastisk modul × relativ tøyning

• For transversale bølger på streng:

v = \sqrt{\frac{S}{μ}}

• For longitudinale bølger i fluider:

v = \sqrt{\frac{B}{ρ}}

• For longitudinale bølger i faste stoffer:

v = \sqrt{\frac{Y}{ρ}}

Side 8 av 16

• Middelverdi av harmonisk varierende størrelse A(x, t), midlet over bølgelengde λ:

\overline{A} = \frac{∫_{0}^{λ} A(x, t) dx}{∫_{0}^{λ} dx} = \frac{1}{λ} ∫_{0}^{λ} A(x, t) dx

Middelverdi av harmonisk varierende størrelse A(x, t), midlet over periode T:

⟨A⟩ = \frac{∫_{0}^{T} A(x, t) dt}{∫_{0}^{T} dt} = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} A(x, t) dt

• Midlere energi pr lengdeenhet for harmonisk bølge på streng:

\overline{ε} = \frac{1}{2}μω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere energi pr volumenhet for harmonisk plan bølge:

\overline{ε} = \frac{1}{2}ρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere effekt transportert med harmonisk bølge på streng:

\overline{P} = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vμω^{2}ξ_{0}^{2}

• Intensitet i harmonisk plan bølge:

I = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere impulstetthet for harmonisk bølge:

\overline{π} = \frac{\overline{ε}}{v}

• Ideell gass:

pV = Nk_{B}T

• Varmekapasitet ved konstant trykk (Q = varme):

C_{p} = (\frac{dQ}{dT})_{p}

• Varmekapasitet ved konstant volum (Q = varme):

C_{V} = (\frac{dQ}{dT})_{V}

• Adiabatiske forhold (dvs ingen varmeutveksling): pV^{γ} = konstant

• Adiabatkonstanten:

γ = \frac{C_{p}}{C_{V}}

Gass med 1-atomige molekyler: γ = 5/3. Gass med 2-atomige molekyler: γ = 7/5.

• Bulkmodul for ideell gass ved adiabatiske forhold: B = γp

• Lydhastighet i gass (m = molekylmassen):

v = \sqrt{\frac{γp}{ρ}} = \sqrt{\frac{γk_{B}T}{m}}

• Lydtrykk:

Δp = −B \frac{∂ξ}{∂x}

• Lydnivå:

β(dB) = 10 log \frac{I}{I_{0}}

med I_{0} = 10^{−12} W/m^{2}

• Dopplereffekt for lydbølger:

ν_{O} = \frac{1 − v_{O}/v}{1 − v_{S}/v} ν_{S}

• For sjokkbølger gjelder:

sin α = \frac{v}{v_{S}}

• Transversal bølge på streng med massetetthet μ_{1} for x < 0 og μ_{2} for x > 0, innkommende bølge propagerer i positiv x-retning:

Amplitude for reflektert bølge:

y_{r0} = \frac{\sqrt{μ_{2}} − \sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0}

Amplitude for transmittert bølge:

y_{t0} = \frac{2\sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0}

Refleksjonskoeffisient:

R = \begin{matrix}\overline{P} & r \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Transmisjonskoeffisient:

T = \begin{matrix}\overline{P} & t \\ \overline{P} & i \end{matrix}

• Plan lydbølge normalt inn mot grenseflate i x = 0 mellom to medier med elastiske moduler og massetettheter henholdsvis E_{1}, ρ_{1} (for x < 0) og E_{2}, ρ_{2} (for x > 0), innkommende bølge propagerer i positiv x-retning:

Amplitude for reflektert bølge:

ξ_{r0} = \frac{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} − \sqrt{ρ_{1}E_{1}}}{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} + \sqrt{ρ_{1}E_{1}}} ξ_{i0}

Amplitude for transmittert bølge:

ξ_{t0} = \frac{2\sqrt{ρ_{1}E_{1}}}{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} + \sqrt{ρ_{1}E_{1}}} ξ_{i0}

Refleksjonskoeffisient:

R = \begin{matrix}\overline{P} & r \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Transmisjonskoeffisient:

T = \begin{matrix}\overline{P} & t \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Side 11 av 16

• Maxwells ligninger på integralform:

∮ E · dA = q/ε_{0}
∮ B · dA = 0

∮ E · dl = −\frac{d}{dt} ∫ B · dA

∮ B · dl = μ_{0}I + μ_{0}ε_{0} \frac{d}{dt} ∫ E · dA

• Maxwells ligninger på differensialform: ∇ · E = ρ/ε_{0} ∇ · B = 0

∇ × E = −\frac{∂B}{∂t}

∇ × B = μ_{0}j + μ_{0}ε_{0} \frac{∂E}{∂t}

• Lorentzkraften:

F = q (E + v × B)

• Bølgeligning for E og B i vakuum:

∇^{2}E = \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}E}{∂t^{2}}

∇^{2}B = \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}B}{∂t^{2}}

c = 1/\sqrt{ε_{0}μ_{0}}

• Energitetthet i elektromagnetisk felt:

u = u_{E} + u_{B} = \frac{1}{2}ε_{0}E^{2} + \frac{1}{2μ_{0}} B^{2}

• Intensitet i elektromagnetisk bølge:

I = cε_{0}\overline{E^{2}} = cε_{0}⟨E^{2}⟩

• Poyntings vektor:

S = \frac{1}{μ_{0}} E × B

• Impuls i elektromagnetisk bølge:

π = μ_{0}ε_{0}S

Side 12 av 16

• Elektrisk dipolmoment:

p = qd

• Magnetisk dipolmoment:

m = IA

• Midlere utstrålt effekt fra oscillerende elektrisk dipol p_{0} cos(ωt):

⟨P ⟩ = \frac{p_{0}^{2}ω^{4}}{12πε_{0}c^{3}}

• Midlere utstrålt effekt fra oscillerende magnetisk dipol m_{0} cos(ωt):

⟨P ⟩ = \frac{μ_{0}m_{0}^{2}ω^{4}}{12πc^{3}}

• Malus’ lov:

I(θ) = I_{0} cos^{2} θ

• Lineære medier:

P = ε_{0}χ_{e}E
D = ε_{0}E + P = ε_{0}(1 + χ_{e})E = ε_{0}ε_{r}E = εE
M = χ_{m}H
B = μ_{0}H + M = μ_{0}(1 + χ_{m})H = μ_{0}μ_{r}H = μH
∮ D · dA = q_{fri}
∮ B · dA = 0
∮ E · dl = −\frac{d}{dt} ∫ B · dA
∮ H · dl = I_{fri} + \frac{d}{dt} ∫ D · dA
∇ · D = ρ_{fri}
∇ · B = 0
∇ × E = −\frac{∂B}{∂t}
∇ × H = j_{fri} + \frac{∂D}{∂t}
u = \frac{1}{2}εE^{2} + \frac{1}{2μ}B^{2}
S = \frac{1}{μ}E × B

Side 13 av 16

• For elektromagnetiske bølger i medier (q_{fri} = I_{fri} = 0):

∇^{2}E = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}E}{∂t^{2}}
∇^{2}B = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}B}{∂t^{2}}
v = \frac{1}{\sqrt{εμ}} = \frac{c}{\sqrt{ε_{r}μ_{r}}} = \frac{c}{n}

• Grenseflatebetingelser (q_{fri} = I_{fri} = 0 i grenseflaten):

ΔD_{⊥} = 0
ΔE_{∥} = 0
ΔB_{⊥} = 0
ΔH_{∥} = 0

• Refleksjon og brytning:

θ_{r} = θ_{i}
n_{1} sin θ_{i} = n_{2} sin θ_{t}

• Youngs eksperiment med to smale spalter:

I(θ) = 4I_{0} cos^{2} (\frac{πd}{λ} sin θ)

• Diffraksjonsgitter med N smale spalter:

I(θ) = I_{0} sin^{2} (\frac{Nπd}{λ} sin θ) ; sin^{2} (\frac{πd}{λ} sin θ)

• Diffraksjon fra en spalte:

I(θ) = I(0) \begin{matrix}sin & 2 & (\frac{πa}{λ} sin θ) \\ (\frac{πa}{λ} sin θ) & 2 \end{matrix}

• Diffraksjon fra N spalter, spaltebredde a, spalteavstand d:

I(θ) = Î sin^{2} (\frac{πa}{λ} sin θ) ; (\frac{πa}{λ} sin θ)^{2} · sin^{2} (\frac{Nπd}{λ} sin θ) ; sin^{2} (\frac{πd}{λ} sin θ)

Side 14 av 16

• Lorentzfaktor:

γ = (1 − v^{2}/c^{2})^{−1/2}

• Lorentztransformasjonene (\overline{S} har hastighet v = vx̂ i forhold til S):

\overline{x} = γ (x − vt)
\overline{y} = y
\overline{z} = z
\overline{t} = γ (t − \frac{v}{c^{2}} x)
x = γ (\overline{x} + v\overline{t})
y = \overline{y}
z = \overline{z}
t = γ (\overline{t} + \frac{v}{c^{2}} \overline{x})

• Tidsdilatasjon:

Δt = γΔ\overline{t}

• Lengdekontraksjon:

Δ\overline{x} = γΔx

• Hastighet i S (u = u_{x}x̂ + u_{y}ŷ + u_{z}ẑ):

u_{x} = dx/dt
u_{y} = dy/dt
u_{z} = dz/dt

Hastighet i \overline{S} (\overline{u} = \overline{u}_{x}x̂ + \overline{u}_{y}ŷ + \overline{u}_{z}ẑ):

\overline{u}_{x} = d\overline{x}/d\overline{t}
\overline{u}_{y} = d\overline{y}/d\overline{t}
\overline{u}_{z} = d\overline{z}/d\overline{t}

• Addisjon av hastigheter (alle hastigheter i samme retning):

v_{AC} = \frac{v_{AB} + v_{BC}}{1 + v_{AB}v_{BC}/c^{2}}

• Dopplereffekt for elektromagnetiske bølger:

\overline{ν} = ν (\frac{c − v}{c + v} )^{1/2}

Side 15 av 16

• Relativistisk impuls:

p = γmv

• Newtons 2. lov:

F = \frac{dp}{dt}

• Energi:

E = γmc^{2}
E_{0} = mc^{2}
E_{k} = E − E_{0}
E^{2} = (pc)^{2} + (mc^{2})^{2}

• Elastisk prosess: E, p, E_{k} og m bevart.

• Uelastisk prosess: E og p bevart.

Side 16 av 16

GOD JUL!