Side 1 av 14

NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK

Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 45 45 55 33

KONTINUASJONSEKSAMEN FY1002 og TFY4160 BØLGEFYSIKK Mandag 15. august 2011 kl. 1500 - 1900

Hjelpemidler: C

• K. Rottmann: Matematisk formelsamling (alle språk).

• O. Øgrim og B. E. Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk, eller C. Angell og B. E. Lian: Fysiske størrelser og enheter.

• Typegodkjent kalkulator, med tomt minne, i henhold til liste utarbeidet av NTNU.

Side 2 - 5: Oppgavene. Side 6 - 14: Vedlegg, Formelsamling.

Prøven består av 6 oppgaver. Det er angitt hvor mye de ulike oppgavene normalt vil telle under vurderingen. Vektorstørrelser angis med fete typer. Enhetsvektorer angis med hatt over symbolet.

Sensuren er klar senest 1. september.

Side 2 av 14

OPPGAVE 1 [1a og 1b teller 10% hver]

a) En metallstreng med lengde L = 100 cm er festet i begge ender (dvs knutepunkter der). Grunntonen (dvs laveste resonansfrekvens) og overtonene genereres av stående transversale bølger på strengen. Den skal stemmes slik at grunntonen er en E med frekvens f = 41 Hz, tilsvarende en kontrabass. Strengen har sirkulært tverrsnitt med radius R = 1.00 mm og er laget av stål, med massetetthet ρ = 7800 kg/m^{3}.

• Bestem bølgelengden λ og bølgehastigheten v til 1. overtone (dvs nest laveste resonansfrekvens). Med hvor stor strekk-kraft S må strengen strammes?

• Du og din venn Arild befinner dere på hver deres vogn som triller bort fra hverandre, med hastighet (relativt til bakken) henholdvis 8 m/s (du) og 12 m/s (Arild). Arild sitter og klimprer på E-strengen på kontrabassen sin. Hvilken frekvens vil grunntonen ha i dine ører? (Lyden fra kontrabassen forplanter seg i luft med hastighet 340 m/s.)

b) En tynn membran (f.eks. papir) er plassert i xy-planet. Et laseroptisk instrument kan måle transversalt utsving på membranen, for −d < x < d når y = 0 og for −d < y < d når x = 0:

Membranen har stor utstrekning, både i x- og y-retning, i forhold til d. En plan harmonisk transversal bølge (z = utsvinget, r = x x̂ + y ŷ),

z(r, t) = z_{0} cos (k · r − ωt) ,

forplanter seg i membranen, med retning fra område A mot område B (dvs mot høyre og oppover i figuren). Ved tidspunktet t = 0 viser instrumentet følgende utsving:

Side 3 av 14

• Anta at d = 50 cm. Bestem bølgens bølgelengde λ.

• Bestem bølgens forplantningsretning. Angi denne ved vinkelen θ mellom forplantningsretningen og x-aksen.

• Med et annet instrument er bølgens frekvens målt til ν = 68 Hz. Hva blir bølgens hastighet v = v_{x} x̂ + v_{y} ŷ? (Bestem både v, v_{x} og v_{y}.)

OPPGAVE 2 [teller 15%]

Et toatomig molekyl, som f.eks. HCl, kan (klassisk) betraktes som to masser, M og m, forbundet med ei (masseløs) fjær med fjærkonstant k.

• Vis, med utgangspunkt i Newtons 2. lov, at molekylets atomer kan oscillere omkring sine likevektsposisjoner med vinkelfrekvensen

ω = \sqrt{\frac{k}{μ}}

der μ = mM/(m + M) er molekylets såkalte reduserte masse. Tips: Anta at molekylets massesenter ligger i ro og at atomenes utsving relativt til likevektsposisjonene X_{0} og x_{0} kan skrives på formen

Ξ(t) = X(t) − X_{0} = A cos ωt

og

ξ(t) = x(t) − x_{0} = B cos ωt

for henholdsvis M og m.

• Hva blir amplitudeforholdet |A/B|? (Det er trolig mest naturlig å bestemme |A/B| før du bestemmer vinkelfrekvensen ω.)

OPPGAVE 3 [teller 15%] Vis at

ξ(r, t) = \frac{A}{\sqrt{r}} sin(kr − ωt)

tilnærmet oppfyller bølgeligningen for sylindersymmetriske bølger,

\frac{∂^{2}ξ}{∂t^{2}} = v^{2} (\frac{∂^{2}ξ}{∂r^{2}} + \frac{1}{r} \frac{∂ξ}{∂r} ) ,

i stor avstand r fra den sylindersymmetriske bølgekilden. Hva betyr ”stor avstand” i denne sammenhengen? Bruk bølgelengden λ som ”målestokk”.

OPPGAVE 4 [teller 15%]

Bildene nedenfor er tatt like etter solnedgang fredag 24. oktober 2008, på parkeringsplassen P-35 sør for Gløshaugen, i ulike retninger, og gjennom et polarisasjonsfilter orientert henholdsvis vertikalt og horisontalt, dvs slik at lys med E polarisert henholdsvis vertikalt og horisontalt i forhold til synslinjen slipper gjennom.

De to bildene lengst til venstre er tatt sørover, dvs mer eller mindre normalt på sollysets forplantningsretning. De to bildene lengst til høyre er tatt vestover, dvs rett mot solnedgangen.

Forklar det du ser! Mer spesifikt: Forklar hvorfor himmelen er blålig mot sør mens den er rødlig mot vest. Forklar også hvorfor så lite lys slipper gjennom polarisasjonsfilteret i bilde nummer to fra venstre.

OPPGAVE 5 [teller 25%]

To lineærpolariserte elektromagnetiske bølger kan superponeres og danne sirkulærpolariserte bølger:

E_{±}(z, t) = E_{0}x̂ sin(kz − ωt) ± E_{0}ŷcos(kz − ωt)

• Hva er forplantningsretningen til bølgene E_{+} og E_{−}?

• Vis at en lineærpolarisert bølge polarisert i (f.eks.) x-retning kan betraktes som en superposisjon av en ”venstredreiende” (E_{+}) og en ”høyredreiende” (E_{−}) sirkulærpolarisert bølge.

Side 5 av 14

En bestemt type molekyler er såkalt optisk aktive. I en gass bestående av slike molekyler er brytningsindeksene n_{+} og n_{−} for henholdsvis venstre- og høyredreiende sirkulærpolariserte elektromagnetiske bølger forskjellige.

• En beholder med lengde L er fylt med en gass av optisk aktive molekyler, med Δn = n_{+} − n_{−} > 0. En venstre- og en høyredreiende sirkulærpolarisert elektromagnetisk bølge bruker henholdsvis tiden t_{+} og t_{−} på å propagere gjennom beholderen. Bestem forskjellen i tidsbruk for de to bølgene, Δt = t_{+} − t_{−}.

• En lineærpolarisert elektromagnetisk bølge E_{i} er polarisert i x-retning og sendes inn mot beholderen som ble beskrevet i forrige kulepunkt (bølgetallsvektor k = 2πẑ/λ). Vis at den transmitterte bølgen E_{t} er lineærpolarisert, men at polarisasjonsretningen ikke lenger er langs x-aksen. Finn et uttrykk for vinkelen Δα mellom polarisasjonsretningen for innkommende bølge og transmittert bølge. Bestem tallverdi (i radianer) for Δα når L = 0.50 m, λ = 628 nm og Δn = 4.0 · 10^{−9}.

Oppgitt:

sin(a − b) + sin(a + b) = 2 sin a cos b
cos(a − b) − cos(a + b) = 2 sin a sin b

OPPGAVE 6 [teller 10%]

• Bruk lorentztransformasjonene til å utlede Einsteins formel for addisjon av hastigheter,

v_{AC} = \frac{v_{AB} + v_{BC}}{1 + v_{AB}v_{BC}/c^{2}}

Her er v_{ij} hastigheten til inertialsystem i målt i inertialsystem j (i, j = A, B, C), og vi antar at samtlige relativhastigheter v_{ij} er langs en og samme akse.

• Anta at v_{AB} = c/2 og v_{BC} = c/3, begge langs positiv x-akse. Hva blir da den prosentvise feilen i v_{AC} dersom vi regner ikke-relativistisk og setter v_{AC} = v_{AB} + v_{BC}?

Side 6 av 14

Vedlegg: Formelsamling

Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent.

• Harmonisk plan bølge:

ξ(x, t) = ξ_{0} sin(kx − ωt + ϕ)
ξ(r, t) = ξ_{0} sin(k · r − ωt + ϕ)

• Bølgeligning:

\frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂t^{2}}

∇^{2}ξ(r, t) (≡ \frac{∂^{2}ξ}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}ξ}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}ξ}{∂z^{2}} ) = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}ξ(r, t)}{∂t^{2}}

• Fasehastighet:

v = \frac{ω}{k}

• Gruppehastighet:

v_{g} = \frac{dω}{dk}

• Generelt for ikkedispersive udempede bølger: v = \sqrt{\frac{elastisk modul}{massetetthet}}

• Generelt for lineær respons i elastiske medier: mekanisk spenning = elastisk modul × relativ tøyning

• For transversale bølger på streng:

v = \sqrt{\frac{S}{μ}}

• For longitudinale bølger i fluider:

v = \sqrt{\frac{B}{ρ}}

• For longitudinale bølger i faste stoffer:

v = \sqrt{\frac{Y}{ρ}}

Side 7 av 14

• Middelverdi av harmonisk varierende størrelse A(x, t), midlet over bølgelengde λ:

\overline{A} = \frac{∫_{0}^{λ} A(x, t) dx}{∫_{0}^{λ} dx} = \frac{1}{λ} ∫_{0}^{λ} A(x, t) dx

Middelverdi av harmonisk varierende størrelse A(x, t), midlet over periode T:

⟨A⟩ = \frac{∫_{0}^{T} A(x, t) dt}{∫_{0}^{T} dt} = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} A(x, t) dt

• Midlere energi pr lengdeenhet for harmonisk bølge på streng:

\overline{ε} = \frac{1}{2}μω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere energi pr volumenhet for harmonisk plan bølge:

\overline{ε} = \frac{1}{2}ρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere effekt transportert med harmonisk bølge på streng:

\overline{P} = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vμω^{2}ξ_{0}^{2}

• Intensitet i harmonisk plan bølge:

I = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere impulstetthet for harmonisk bølge:

\overline{π} = \frac{\overline{ε}}{v}

• Ideell gass:

pV = Nk_{B}T

• Varmekapasitet ved konstant trykk (Q = varme):

C_{p} = (\frac{dQ}{dT})_{p}

• Varmekapasitet ved konstant volum (Q = varme):

C_{V} = (\frac{dQ}{dT})_{V}

• Adiabatiske forhold (dvs ingen varmeutveksling): pV^{γ} = konstant

• Adiabatkonstanten:

γ = \frac{C_{p}}{C_{V}}

Gass med 1-atomige molekyler: γ = 5/3. Gass med 2-atomige molekyler: γ = 7/5.

• Bulkmodul for ideell gass ved adiabatiske forhold: B = γp

• Lydhastighet i gass (m = molekylmassen):

v = \sqrt{\frac{γp}{ρ}} = \sqrt{\frac{γk_{B}T}{m}}

• Lydtrykk:

Δp = −B \frac{∂ξ}{∂x}

• Lydnivå:

β(dB) = 10 log \frac{I}{I_{0}}

med I_{0} = 10^{−12} W/m^{2}

• Dopplereffekt:

ν_{O} = \frac{1 − v_{O}/v}{1 − v_{S}/v} ν_{S}

• For sjokkbølger:

sin α = \frac{v}{v_{S}}

• Transversal bølge på streng med massetetthet μ_{1} for x < 0 og μ_{2} for x > 0, innkommende bølge propagerer i positiv x-retning:

Amplitude for reflektert bølge:

y_{r0} = \frac{\sqrt{μ_{2}} − \sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0}

Amplitude for transmittert bølge:

y_{t0} = \frac{2\sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0}

Refleksjonskoeffisient:

R = \begin{matrix}\overline{P} & r \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Transmisjonskoeffisient:

T = \begin{matrix}\overline{P} & t \\ \overline{P} & i \end{matrix}

• Plan lydbølge normalt inn mot grenseflate i x = 0 mellom to medier med elastiske moduler og massetettheter henholdsvis E_{1}, ρ_{1} (for x < 0) og E_{2}, ρ_{2} (for x > 0), innkommende bølge propagerer i positiv x-retning:

Amplitude for reflektert bølge:

ξ_{r0} = \frac{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} − \sqrt{ρ_{1}E_{1}}}{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} + \sqrt{ρ_{1}E_{1}}} ξ_{i0}

Amplitude for transmittert bølge:

ξ_{t0} = \frac{2\sqrt{ρ_{1}E_{1}}}{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} + \sqrt{ρ_{1}E_{1}}} ξ_{i0}

Refleksjonskoeffisient:

R = \begin{matrix}\overline{P} & r \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Transmisjonskoeffisient:

T = \begin{matrix}\overline{P} & t \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Side 10 av 14

• Maxwells ligninger på integralform:

∮ E · dA = q/ε_{0}
∮ B · dA = 0

∮ E · dl = −\frac{d}{dt} ∫ B · dA

∮ B · dl = μ_{0}I + μ_{0}ε_{0} \frac{d}{dt} ∫ E · dA

• Maxwells ligninger på differensialform: ∇ · E = ρ/ε_{0} ∇ · B = 0

∇ × E = −\frac{∂B}{∂t}

∇ × B = μ_{0}j + μ_{0}ε_{0} \frac{∂E}{∂t}

• Lorentzkraften:

F = q (E + v × B)

• Bølgeligning for E og B i vakuum:

∇^{2}E = \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}E}{∂t^{2}}

∇^{2}B = \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}B}{∂t^{2}}

c = 1/\sqrt{ε_{0}μ_{0}}

• Energitetthet i elektromagnetisk felt:

u = u_{E} + u_{B} = \frac{1}{2}ε_{0}E^{2} + \frac{1}{2μ_{0}} B^{2}

• Intensitet i elektromagnetisk bølge:

I = cε_{0}\overline{E^{2}} = cε_{0}⟨E^{2}⟩

• Poyntings vektor:

S = \frac{1}{μ_{0}} E × B

• Impuls i elektromagnetisk bølge:

π = μ_{0}ε_{0}S

Side 11 av 14

• Elektrisk dipolmoment:

p = qd

• Magnetisk dipolmoment:

m = IA

• Midlere utstrålt effekt fra oscillerende elektrisk dipol p_{0} cos(ωt):

⟨P ⟩ = \frac{p_{0}^{2}ω^{4}}{12πε_{0}c^{3}}

• Midlere utstrålt effekt fra oscillerende magnetisk dipol m_{0} cos(ωt):

⟨P ⟩ = \frac{μ_{0}m_{0}^{2}ω^{4}}{12πc^{3}}

• Malus’ lov:

I(θ) = I_{0} cos^{2} θ

• Lineære medier:

P = ε_{0}χ_{e}E
D = ε_{0}E + P = ε_{0}(1 + χ_{e})E = ε_{0}ε_{r}E = εE
M = χ_{m}H
B = μ_{0}H + M = μ_{0}(1 + χ_{m})H = μ_{0}μ_{r}H = μH
∮ D · dA = q_{fri}
∮ B · dA = 0
∮ E · dl = −\frac{d}{dt} ∫ B · dA
∮ H · dl = I_{fri} + \frac{d}{dt} ∫ D · dA
∇ · D = ρ_{fri}
∇ · B = 0
∇ × E = −\frac{∂B}{∂t}
∇ × H = j_{fri} + \frac{∂D}{∂t}
u = \frac{1}{2}εE^{2} + \frac{1}{2μ}B^{2}
S = \frac{1}{μ}E × B

Side 12 av 14

• For elektromagnetiske bølger i medier (q_{fri} = I_{fri} = 0):

∇^{2}E = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}E}{∂t^{2}}
∇^{2}B = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}B}{∂t^{2}}
v = \frac{1}{\sqrt{εμ}} = \frac{c}{\sqrt{ε_{r}μ_{r}}} = \frac{c}{n}

• Grenseflatebetingelser (q_{fri} = I_{fri} = 0 i grenseflaten):

ΔD_{⊥} = 0
ΔE_{∥} = 0
ΔB_{⊥} = 0
ΔH_{∥} = 0

• Refleksjon og brytning:

θ_{r} = θ_{i}
n_{1} sin θ_{i} = n_{2} sin θ_{t}

• Youngs eksperiment med to smale spalter:

I(θ) = 4I_{0} cos^{2} (\frac{πd}{λ} sin θ)

• Diffraksjonsgitter med N smale spalter:

I(θ) = I_{0} sin^{2} (\frac{Nπd}{λ} sin θ) ; sin^{2} (\frac{πd}{λ} sin θ)

• Diffraksjon fra en spalte:

I(θ) = I(0) \begin{matrix}sin & 2 & (\frac{πa}{λ} sin θ) \\ (\frac{πa}{λ} sin θ) & 2 \end{matrix}

Side 13 av 14

• Lorentzfaktor:

γ = (1 − v^{2}/c^{2})^{−1/2}

• Lorentztransformasjonene (\overline{S} har hastighet v = vx̂ i forhold til S):

\overline{x} = γ (x − vt)
\overline{y} = y
\overline{z} = z
\overline{t} = γ (t − \frac{v}{c^{2}} x)
x = γ (\overline{x} + v\overline{t})
y = \overline{y}
z = \overline{z}
t = γ (\overline{t} + \frac{v}{c^{2}} \overline{x})

• Tidsdilatasjon:

Δt = γΔ\overline{t}

• Lengdekontraksjon:

Δ\overline{x} = γΔx

• Hastighet i S (u = u_{x}x̂ + u_{y}ŷ + u_{z}ẑ):

u_{x} = dx/dt
u_{y} = dy/dt
u_{z} = dz/dt

Hastighet i \overline{S} (\overline{u} = \overline{u}_{x}x̂ + \overline{u}_{y}ŷ + \overline{u}_{z}ẑ):

\overline{u}_{x} = d\overline{x}/d\overline{t}
\overline{u}_{y} = d\overline{y}/d\overline{t}
\overline{u}_{z} = d\overline{z}/d\overline{t}

• Addisjon av hastigheter (alle hastigheter i samme retning):

v_{AC} = \frac{v_{AB} + v_{BC}}{1 + v_{AB}v_{BC}/c^{2}}

• Dopplereffekt for elektromagnetiske bølger:

\overline{ν} = ν (\frac{c − v}{c + v} )^{1/2}

Side 14 av 14

• Relativistisk impuls:

p = γmv

• Newtons 2. lov:

F = \frac{dp}{dt}

• Energi:

E = γmc^{2}
E_{0} = mc^{2}
E_{k} = E − E_{0}
E^{2} = (pc)^{2} + (mc^{2})^{2}

• Elastisk prosess: E, p, E_{k} og m bevart.

• Uelastisk prosess: E og p bevart.