Institutt for fysikk, NTNU FY1002/TFY4160 Bølgefysikk Høst 2010

FY1002/TFY4160 Bølgefysikk

Løsningsforslag til Midtsemesterprøve fredag 15. oktober 2010 kl 08.15 – 09.45

Fasit på side 10.

Oppgavene og et kortfattet løsningsforslag:

1) Vi betrakter en transversal harmonisk bølge på en streng, med amplitude 1 mm, bølgelengde 40 cm og frekvens (f) 100 Hz. Hva er fasehastigheten til en slik bølge?

A 40 m/s
B 40 cm/s
C 1 mm/s
D 63 cm/s

v = λ/T = λf = 0.40 · 100 m/s = 40 m/s A

2) For den svingende strengen i oppgave 1, hva blir maksimal (transversal) hastighet for et strengelement?

A 40 m/s
B 40 cm/s
C 1 mm/s
D 63 cm/s

y(x, t) = y_{0} sin(kx − ωt) ⇒ ẏ = −ωy_{0} cos(kx − ωt) ⇒ ẏ_{max} = ωy_{0} = 2π · 100 · 0.001 m/s ≃ 0.63 m/s

D 3) På en streng med lengde 2 m og masse 25 g forplanter transversale bølger seg med hastighet 100 m/s. Hva stor er strekk-kraften i strengen?

A 50 N
B 75 N
C 100 N
D 125 N

S = μv^{2} = (0.025/2) · 100^{2} = 125 N D

4) Strengen i oppgave 3 er festet i begge ender. Hvilken frekvens har grunntonen?

A 10 Hz
B 25 Hz
C 75 Hz
D 125 Hz

λ_{1} = 2L = 4 m ⇒ f_{1} = v/λ_{1} = 100/4 = 25 Hz B

5) En kloss med masse m ligger på et bord og er festet til ei ideell fjær med fjærkonstant k. Friksjonskoeffisientene mellom kloss og bord er μ_{s} (statisk) og μ_{k} (kinetisk). Klossen trekkes en avstand A ut fra likevekt (slik at fjæra strekkes) og slippes med null starthastighet. Hvilke(t) krav må vi stille til A for at klossen skal begynne å svinge fram og tilbake?

A Vi må ha A > μ_{s}mg/k.
B Vi må ha A < μ_{s}mg/k.
C Vi må ha A > gk/μ_{s}m.
D Ingen.

Fjærkraften kA må overstige maksimal friksjonskraft μ_{s}mg. Altså: A > μ_{s}mg/k.

A

6) Figuren ovenfor viser en dempet svingning der utsvinget er gitt som

x(t) = Ae^{−t/τ} cos(ωt + ϕ).

Hva er initialverdiene x(0) og ẋ(0) for dette svingeforløpet?

A x(0) ≃ 60 cm, ẋ(0) ≃ −120 cm/s
B x(0) ≃ −60 cm, ẋ(0) ≃ 120 cm/s
C x(0) ≃ 60 cm, ẋ(0) ≃ 120 cm/s
D x(0) ≃ −60 cm, ẋ(0) ≃ −120 cm/s

Vi ser direkte fra grafen at x(0) ≃ 60 cm og at ẋ(0) > 0 (positiv helning på kurven i t = 0). C

7) Anslå den karakteristiske dempingstiden τ i uttrykket for x(t) i oppgave 6 (med utgangspunkt i figuren ovenfor).

A τ ≃ 4 s
B τ ≃ 7 s
C τ ≃ 10 s
D τ ≃ 13 s

Fra grafen ser vi at T ≃ 4 s. Første topp-punkt er x_{1} ≃ 0.95 m og tredje topp-punkt er x_{3} ≃ 0.42 m. Dermed:

\frac{x_{3}}{x_{1}} ≃ \frac{0.42}{0.95} = e^{−2T/τ}

som gir

τ ≃ \frac{2T}{ln(0.95/0.42)} ≃ 9.8 s ≃ 10 s

C

8) Vi betrakter fri svingninger i en enkel udempet endimensjonal harmonisk oscillator, mer presist en masse m festet til ei ideell fjær med fjærkonstant k. Hvilken av påstandene nedenfor er da feil?

A Den totale mekaniske energien endrer seg ikke med tida.
B Den kinetiske energien oscillerer med periode 2π\sqrt{m/k}.
C En dobling av massen reduserer svingefrekvensen med i underkant av tredve prosent.
D Massens utsving fra likevekt og dens akselerasjon er i motfase.

Påstand B er feil. Hvis x, og dermed ẋ, en harmonisk funksjon med vinkelfrekvens ω, vil kinetisk energi E_{k}, som er proporsjonal med ẋ^{2}, bli en harmonisk funksjon med vinkelfrekvens 2ω. (Eks: sin^{2}(ωt) = (1 − cos 2ωt)/2) E_{k} oscillerer dermed med perioden 2π/2ω = π\sqrt{m/k}.

B 9) En masse m er festet til ei ideell fjær med fjærkonstant k. En dempemekanisme gir en dempingskraft −bẋ, dvs proporsjonal med massens hastighet ẋ. Massen påvirkes av en ytre harmonisk kraft F (t) = F_{0} cos ωt slik at utsvinget fra likevekt blir x(t) = A(ω) sin(ωt+ϕ), med frekvensavhengig amplitude A(ω) og fasekonstant ϕ(ω) = arctan[(ω_{0}^{2} − ω^{2})m/ωb]. (Her er ω_{0}^{2} = k/m.) Hvilken av påstandene nedenfor om resonans er da feil?

A Når frekvensen til F tilsvarer systemets resonansfrekvens, er F og ẋ i fase.
B Midlere tilført effekt er proporsjonal med F_{0}^{2}.
C Med svak demping er F og x i fase dersom ω er betydelig mindre enn ω_{0}.
D Med svak demping er resonanskurvens halvverdibredde proporsjonal med b^{−1}.

Påstand D er feil. Svak demping gir smal resonanskurve, og da kan ikke bredden være proporsjonal med 1/b. Bredden er derimot proporsjonal med b.

D

10) Figuren over viser fire kurver som spissen av D(x, t) vil tegne ved x = 0 for følgende fire harmoniske bølger:

D(x, t) = D_{0} sin(kx − ωt)ŷ + D_{0} sin(kx − ωt + π)ẑ  (1)
D(x, t) = D_{0} sin(kx − ωt)ŷ + 2D_{0} cos(kx − ωt)ẑ  (2)
D(x, t) = D_{0} sin(kx − ωt)ŷ + D_{0} cos(kx − ωt)ẑ  (3)
D(x, t) = D_{0} sin(kx − ωt)ŷ + 2D_{0} sin(kx − ωt)ẑ  (4)

Hvilke figurer hører sammen med hvilke D(0, t)?

A (a og 3), (b og 4), (c og 1), (d og 2)
B (a og 4), (b og 1), (c og 3), (d og 2)
C (a og 2), (b og 3), (c og 1), (d og 4)
D (a og 1), (b og 2), (c og 3), (d og 4)

Vi har ved x = 0:

D(0, t) = −D_{0} sin(ωt)ŷ + D_{0} sin(ωt)ẑ  (5)
D(0, t) = −D_{0} sin(ωt)ŷ + 2D_{0} cos(ωt)ẑ  (6)
D(0, t) = −D_{0} sin(ωt)ŷ + D_{0} cos(ωt)ẑ  (7)
D(0, t) = −D_{0} sin(ωt)ŷ − 2D_{0} sin(ωt)ẑ  (8)

Dermed blir alternativ C riktig.

C 11) Ved adiabatiske forhold har vi pV^{γ} = konstant. Her er p trykket, V er volumet, mens γ er adiabatkonstanten. Hva blir sammenhengen mellom trykk og temperatur ved adiabatiske forhold? (Anta ideell gass.)

A p^{γ−1} T^{−γ} = konstant
B p T = konstant
C p^{γ} T = konstant
D p T^{γ−1} = konstant

pV^{γ} = p (\frac{Nk_{B}T}{p} )^{γ} ∼ p^{1−γ}T^{γ} ∼ p^{γ−1}T^{−γ}

Ettersom vi startet med noe som er konstant, kan vi f.eks opphøye denne i en eller annen konstant, inklusive minus en, noe som gir den siste sammenhengen.

A

12) Kravet om energibevarelse medfører at amplituden til trykkvariasjonsbølgen for en kulebølge avtar med avstanden r fra symmetrisenteret som (Δp)_{0}(r) ∼ r^{−n} med

\begin{matrix}A & n = 1/2 \\ B & n = −1/2 \\ C & n = 1 \\ D & n = −1 \end{matrix}

Like mye effekt må passere gjennom alle kuleskall med ulik radius r. Dermed:

4πr_{1}^{2}I_{1} = 4πr_{2}^{2}I_{2}

som gir at intensiteten avhenger av r som

I(r) ∼ 1/r^{2}

Vi har at I ∼ ξ^{2}, men siden Δp ∼ ∂ξ/∂x, må vi også ha I ∼ (Δp)^{2}. Dermed: (Δp)_{0} ∼ 1/r og n = 1. C 13) En bølgepakke på en streng kom inn fra venstre og ble delvis reflektert og delvis transmittert i en skjøt litt til venstre for x = 0. Figuren over viser den reflekterte og den transmitterte bølgepakken. Omtrent hvor stor andel av den innkommende bølgepakkens energi ble reflektert?

A Ca 6 %
B Ca 11 %
C Ca 16 %
D Ca 21 %

y_{r0} = \frac{λ_{1} − λ_{2}}{λ_{1} + λ_{2}} y_{i0}

der reflektert bølge er i område 1 og transmittert bølge i område 2. Fra grafen ser vi at λ_{2} ≃ 2λ_{1} som gir

R = |y_{r0}/y_{i0}|^{2} ≃ 0.11

B

Dessverre var figuren i oppgaveteksten misvisende og forvirrende, i og med at den transmitterte bølgepakken bare hadde omlag halvparten så mange bølgetopper som den reflekterte. Dette er ufysikalsk. Et riktigere bilde vil se omtrent slik ut:

Av den grunn fikk alle registrert riktig svar på denne oppgaven.

14) Et tynt, luftfylt rør er lukket i den ene og åpent i den andre enden. Røret er 3 m langt. Anslå frekvensen til grunntonen i røret en kald vinterdag på Røros. Du kan anta at luft består av 4/5 nitrogen (N_{2}) og 1/5 oksygen (O_{2}), med molekylmasser henholdsvis 28 og 32 ganger protonmassen.

A 26 Hz
B 39 Hz
C 64 Hz
D 113 Hz

Grunntonen: λ = 4L = 12 m. Midlere molekylmasse: m = (0.8 · 28 + 0.2 · 32) · 1.67 · 10^{−27} kg = 4.8 · 10^{−26} kg. Lydhastigheten: v = \sqrt{γk_{B}T/m} ≃ \sqrt{1.4 · 1.38 · 10^{−23} · 243/4.8 · 10^{−26}} ≃ 312 m/s. På en kald vinterdag er det gjerne -30 ^{∘}C på Røros. Frekvensen blir dermed f ≃ 312/12 ≃ 26 Hz.

A

15) En ambulansesirene genererer en harmonisk lydbølge med frekvens 850 Hz. En sterk vind blåser i retning fra ambulansen og mot deg, med vindhastighet 25 m/s. Både du og ambulansen står stille. Hvilken frekvens hører du? (Lydhastigheten er 340 m/s.)

A 783 Hz
B 850 Hz
C 917 Hz
D 985 Hz

Så lenge v_{O} = v_{S} = 0, spiller det ingen rolle om det blåser. Observatøren vil måle samme frekvens som kilden (S) sender ut.

B

16) I figuren over angir sirklene (kule-)bølgefronter generert ved at flyet (F) komprimerer lufta i forkant. Bruk figuren til å bestemme flyets hastighet, målt i enheter av lydhastigheten.

A 1.3
B 2.0
C 2.9
D 4.1

tan α = (x/2)/2x = 0.25, dvs α ≃ 14 grader. Dermed: v_{F} /v = 1/ sin α = 4.1.

D 17) En bølgepakke ute på havet har (hovedsaklig) bølgelengde 20 m. Bølgepakken beveger seg rett mot kysten som ligger 5 km unna. Hvor lang tid tar det før bølgepakken når land? Du kan anta at vi hele tiden er på dypt vann. Dispersjonsrelasjonen for dypvannsbølger er ω(k) = \sqrt{gk + γk^{3}/ρ}, med g = 9.8 m/s^{2}, γ = 0.073 J/m^{2} og ρ = 1000 kg/m^{3}.

A ca et kvarter
B ca en halvtime
C ca to timer
D ca fire timer

For så lange bølgelengder har vi ω(k) = \sqrt{gk} og dermed v_{g} = \sqrt{g/4k} = \sqrt{gλ/8π}. Bølgepakken bruker dermed tiden t = L/v_{g} = 5000/2.79 = 1790 sekunder, dvs ca en halv time, inn til land.

B

18) Strengt tatt er transversale bølger på en streng ikke helt dispersjonsfrie. Anta at vi har en uniform metallstreng med sirkulært tverrsnitt A, massetetthet ρ og elastisk modul (Youngs modul) Y. Dispersjonsrelasjonen er da gitt som

ω = \sqrt{\frac{S}{μ} k^{2} + \frac{Y A^{2}}{4πμ} k^{4}}

der S er strekket i strengen og μ = ρA er strengens masse pr lengdeenhet. For korte bølgelengder blir dermed fasehastigheten v og gruppehastigheten v_{g} ikke nøyaktig like store. Hvilken av dem er størst?

A Det kommer an på hva bølgelengden er.
B Det kan ikke avgjøres ut fra den oppgitte dispersjonsrelasjonen.
C Fasehastigheten.
D Gruppehastigheten.

Her kan vi skrive ω^{2} = ak^{2} + bk^{4} med positive konstanter a og b. Gruppe- og fasehastigheten blir dermed hhv

v_{g} = \frac{dω}{dk} = \frac{1}{2ω} \frac{dω^{2}}{dk} = \frac{1}{2ω} (2ak + 4bk^{3})
v = \frac{ω}{k} = \frac{1}{2ω} \frac{2ω^{2}}{k} = \frac{1}{2ω} (2ak + 2bk^{3}) < v_{g}

D 19) Karbondioksyd, CO_{2}, er et lineært molekyl, som vist i figuren over. Vi antar at kreftene mellom karbon og oksygen kan beskrives ved hjelp av ideelle fjærer med fjærkonstant k. Atomene kan svinge harmonisk omkring sine likevektsposisjoner i fire såkalte ”normale moder”. En av disse normale modene er antydet i figuren. Her svinger oksygenatomene (masse M) i samme retning (med lik amplitude), mens karbonatomet (masse m) svinger motsatt vei. Molekylets massemiddelpunkt ligger hele tiden i ro. Hva er vinkelfrekvensen ω til denne vibrasjonsbevegelsen?

A \sqrt{k(m − 2M)/mM}  B \sqrt{k(m + 2M)/mM}  C \sqrt{k/(2M + m)}  D \sqrt{k/(2M − m)}

Massesenteret i ro betyr at mx_{C} + 2Mx_{O} = 0, dvs x_{C} = −(2M/m)x_{O}. Her er x_{C} og x_{O} utsvingene til hhv C og O fra likevekt. Netto kraft på O, f.eks den til venstre: −kx_{O} + kx_{C} = −kx_{O}(1 + 2M/m) Newtons andre lov gir dermed ẍ_{O} + ω^{2}x_{O} = 0 med ω^{2} = k(m + 2M)/mM

B

20) Figuren til høyre viser dispersjonsrelasjonen ω(k) = \sqrt{gk tanh(kD)} for tyngdebølger på to ulike dyp, D = 0.5 m (heltrukken linje) og D = 5.0 m (stiplet linje). Hvilken av påstandene om fasehastighet v og gruppehastighet v_{g} til venstre er riktig?

A For bølgetall større enn ca 5 m^{−1} er

v og v_{g} omtrent like store.

B v og v_{g} varierer i sterkere grad med dybden

for korte enn for lange bølgelengder.

C Når bølgelengden er mye større enn

dybden, blir v og v_{g} omtrent like store.

D Når bølgelengden er mye større enn

dybden, blir v og v_{g} uavhengige av dybden.

Påstand C er riktig. Når λ ≫ D er kD ≪ 1, og vi kan med god tilnærmelse skrive tanh kD ≃ kD. Det gir ω(k) ≃ \sqrt{gk · kD} = \sqrt{gD}k, dvs en lineær dispersjonsrelasjon. Da er v og v_{g} like store. Dette viser umiddelbart at påstand D er feil. Påstand A er feil siden v_{g} nærmer seg verdien v/2 når λ blir stadig mindre (dvs tyngdebølger på dypt vann). Da blir dispersjonsrelasjonen etter hvert ω(k) = \sqrt{gk}, slik at v og v_{g} ikke varierer med dybden. (Som viser at påstand B også er feil.)

C Institutt for fysikk, NTNU

FY1002/TFY4160 Bølgefysikk

Fasit, Midtsemesterprøve fredag 15. oktober 2010 kl 08.15 – 09.45

Oppgave  A  B  C  D  Oppgave  A  B  C  D
1  x  11  x
2  x  12  x
3  x  13  x
4  x  14  x
5  x  15  x
6  x  16  x
7  x  17  x
8  x  18  x
9  x  19  x
10  x  20  x