Institutt for fysikk, NTNU FY1002/TFY4160 Bølgefysikk Høst 2010

FY1002/TFY4160 Bølgefysikk

Midtsemesterprøve fredag 15. oktober 2010 kl 08.15 – 09.45

Merk av svarene dine i tabellen på side 11. Lever inn kun side 11. Husk å skrive på emnekode og kandidatnummer. (Skulle du mot formodning ikke ha med deg kandidatnummeret, må du skrive på studentnummeret.)

Tillatte hjelpemidler: C

• K. Rottmann: Matematisk formelsamling. (Eller tilsvarende.)

• O. Øgrim og B. E. Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk eller B. E. Lian og C. Angell: Fysiske størrelser og enheter.

• Typegodkjent kalkulator, med tomt minne, i henhold til liste utarbeidet av NTNU. (SR-270X, HP30S eller lignende.)

• Formelsamling i bølgefysikk er inkludert på de neste 3 sidene.

Opplysninger:

• Prøven består av 20 oppgaver. Hver oppgave har ett riktig og tre gale svaralternativ.

• Du skal krysse av for ett svaralternativ på hver oppgave. Avkryssing for mer enn ett alternativ eller ingen alternativ betraktes som feil svar og gir i begge tilfelle null poeng.

• Noen verdier: Tyngdens akselerasjon: g = 9.8 m/s^{2}, Boltzmanns konstant: k_{B} = 1.38 · 10^{−23} J/K, Avogadros tall: N_{A} = 6 · 10^{23}, Protonmassen: m_{p} = 1.67 · 10^{−27} kg. Nøytronmassen: m_{n} = 1.67 · 10^{−27} kg.

• Symboler angis i kursiv (f.eks m for masse) mens enheter angis uten kursiv (f.eks m for meter). Vektorer angis med fete symboler. Enhetsvektorer angis med hatt over.

• SI-prefikser: T (tera) = 10^{12}, G (giga) = 10^{9}, M (mega) = 10^{6}, k (kilo) = 10^{3}, c (centi) = 10^{−2}, m (milli) = 10^{−3}, μ (mikro) = 10^{−6}, n (nano) = 10^{−9}, p (piko) = 10^{−12}.

• For x ≪ 1 er tanh x ≃ x. For x ≫ 1 er tanh x ≃ 1.

• Notasjon: A/BC betyr \frac{A}{BC} og ikke \frac{A}{B} · C

Versjon 1

Formelsamling Bølgefysikk (Mekaniske bølger, 3 sider)

Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent.

• Harmonisk plan bølge:

ξ(x, t) = ξ_{0} sin(kx − ωt + ϕ)

• Bølgeligning:

\frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}ξ(x, t)}{∂t^{2}}

• Fasehastighet:

v = \frac{ω}{k}

• Gruppehastighet:

v_{g} = \frac{dω}{dk}

• Generelt for ikkedispersive udempede bølger:

v = \sqrt{\frac{elastisk modul}{massetetthet}}

• Generelt for lineær respons i elastiske medier:

mekanisk spenning = elastisk modul × relativ tøyning

• For transversale bølger på streng:

v = \sqrt{\frac{S}{μ}}

• For longitudinale bølger i fluider:

v = \sqrt{\frac{B}{ρ}}

• For longitudinale bølger i faste stoffer (tynn stang):

v = \sqrt{\frac{Y}{ρ}}

• Midlere energi pr lengdeenhet for harmonisk bølge på streng:

\overline{ε} = \frac{1}{2}μω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere energi pr volumenhet for harmonisk plan bølge:

\overline{ε} = \frac{1}{2}ρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere effekt transportert med harmonisk bølge på streng:

\overline{P} = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vμω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere intensitet i harmonisk plan bølge:

I = v\overline{ε} = \frac{1}{2}vρω^{2}ξ_{0}^{2}

• Midlere impulstetthet for harmonisk bølge:

\overline{π} = \frac{\overline{ε}}{v}

• Ideell gass:

pV = Nk_{B}T

• Varmekapasitet ved konstant trykk (Q = varme):

C_{p} = (\frac{dQ}{dT})_{p}

• Varmekapasitet ved konstant volum (Q = varme):

C_{V} = (\frac{dQ}{dT})_{V}

• Adiabatiske forhold (dvs ingen varmeutveksling):

pV^{γ} = konstant

• Adiabatkonstanten:

γ = \frac{C_{p}}{C_{V}}

Gass med 1-atomige molekyler: γ = 5/3. Gass med 2-atomige molekyler: γ = 7/5.

• Bulkmodul for ideell gass ved adiabatiske forhold:

B = γp

• Lydhastighet i gass (m = (midlere) molekylmasse):

v = \sqrt{\frac{γp}{ρ}} = \sqrt{\frac{γk_{B}T}{m}}

• Lydtrykk:

Δp = −B \frac{∂ξ}{∂x}

• Lydnivå:

β(dB) = 10 log \frac{I}{I_{0}}

med I_{0} = 10^{−12} W/m^{2}

• Dopplereffekt:

f_{O} = \frac{1 + v_{m}/v − v_{O}/v}{1 + v_{m}/v − v_{S}/v} f_{S}

• For sjokkbølger:

sin α = \frac{v}{v_{S}}

• Transversal bølge på streng med massetetthet μ_{1} for x < 0 og μ_{2} for x > 0, innkommende bølge propagerer i positiv x-retning:

Amplitude for reflektert bølge:

y_{r0} = \frac{\sqrt{μ_{2}} − \sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0}

Amplitude for transmittert bølge:

y_{t0} = \frac{2\sqrt{μ_{1}}}{\sqrt{μ_{2}} + \sqrt{μ_{1}}} y_{i0}

Refleksjonskoeffisient:

R = \begin{matrix}\overline{P} & r \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Transmisjonskoeffisient:

T = \begin{matrix}\overline{P} & t \\ \overline{P} & i \end{matrix}

• Plan lydbølge normalt inn mot grenseflate i x = 0 mellom to medier med elastiske moduler og massetettheter henholdsvis E_{1}, ρ_{1} (for x < 0) og E_{2}, ρ_{2} (for x > 0), innkommende bølge propagerer i positiv x-retning:

Amplitude for reflektert bølge:

ξ_{r0} = \frac{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} − \sqrt{ρ_{1}E_{1}}}{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} + \sqrt{ρ_{1}E_{1}}} ξ_{i0}

Amplitude for transmittert bølge:

ξ_{t0} = \frac{2\sqrt{ρ_{1}E_{1}}}{\sqrt{ρ_{2}E_{2}} + \sqrt{ρ_{1}E_{1}}} ξ_{i0}

Refleksjonskoeffisient:

R = \begin{matrix}\overline{P} & r \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Transmisjonskoeffisient:

T = \begin{matrix}\overline{P} & t \\ \overline{P} & i \end{matrix}

Oppgaver

1) Vi betrakter en transversal harmonisk bølge på en streng, med amplitude 1 mm, bølgelengde 40 cm og frekvens (f) 100 Hz. Hva er fasehastigheten til en slik bølge?

A 40 m/s
B 40 cm/s
C 1 mm/s
D 63 cm/s

2) For den svingende strengen i oppgave 1, hva blir maksimal (transversal) hastighet for et strengelement?

A 40 m/s
B 40 cm/s
C 1 mm/s
D 63 cm/s

3) På en streng med lengde 2 m og masse 25 g forplanter transversale bølger seg med hastighet 100 m/s. Hva stor er strekk-kraften i strengen?

A 50 N
B 75 N
C 100 N
D 125 N

4) Strengen i oppgave 3 er festet i begge ender. Hvilken frekvens har grunntonen?

A 10 Hz
B 25 Hz
C 75 Hz
D 125 Hz

5) En kloss med masse m ligger på et bord og er festet til ei ideell fjær med fjærkonstant k. Friksjonskoeffisientene mellom kloss og bord er μ_{s} (statisk) og μ_{k} (kinetisk). Klossen trekkes en avstand A ut fra likevekt (slik at fjæra strekkes) og slippes med null starthastighet. Hvilke(t) krav må vi stille til A for at klossen skal begynne å svinge fram og tilbake?

A Vi må ha A > μ_{s}mg/k.
B Vi må ha A < μ_{s}mg/k.
C Vi må ha A > gk/μ_{s}m.
D Ingen.

6) Figuren ovenfor viser en dempet svingning der utsvinget er gitt som

x(t) = Ae^{−t/τ} cos(ωt + ϕ).

Hva er initialverdiene x(0) og ẋ(0) for dette svingeforløpet?

A x(0) ≃ 60 cm, ẋ(0) ≃ −120 cm/s
B x(0) ≃ −60 cm, ẋ(0) ≃ 120 cm/s
C x(0) ≃ 60 cm, ẋ(0) ≃ 120 cm/s
D x(0) ≃ −60 cm, ẋ(0) ≃ −120 cm/s

7) Anslå den karakteristiske dempingstiden τ i uttrykket for x(t) i oppgave 6 (med utgangspunkt i figuren ovenfor).

A τ ≃ 4 s
B τ ≃ 7 s
C τ ≃ 10 s
D τ ≃ 13 s

8) Vi betrakter fri svingninger i en enkel udempet endimensjonal harmonisk oscillator, mer presist en masse m festet til ei ideell fjær med fjærkonstant k. Hvilken av påstandene nedenfor er da feil?

A Den totale mekaniske energien endrer seg ikke med tida.
B Den kinetiske energien oscillerer med periode 2π\sqrt{m/k}.
C En dobling av massen reduserer svingefrekvensen med i underkant av tredve prosent.
D Massens utsving fra likevekt og dens akselerasjon er i motfase.

9) En masse m er festet til ei ideell fjær med fjærkonstant k. En dempemekanisme gir en dempingskraft −bẋ, dvs proporsjonal med massens hastighet ẋ. Massen påvirkes av en ytre harmonisk kraft F (t) = F_{0} cos ωt slik at utsvinget fra likevekt blir x(t) = A(ω) sin(ωt+ϕ), med frekvensavhengig amplitude A(ω) og fasekonstant ϕ(ω) = arctan[(ω_{0}^{2} − ω^{2})m/ωb]. (Her er ω_{0}^{2} = k/m.) Hvilken av påstandene nedenfor om resonans er da feil?

A Når frekvensen til F tilsvarer systemets resonansfrekvens, er F og ẋ i fase.
B Midlere tilført effekt er proporsjonal med F_{0}^{2}.
C Med svak demping er F og x i fase dersom ω er betydelig mindre enn ω_{0}.
D Med svak demping er resonanskurvens halvverdibredde proporsjonal med b^{−1}.

10) Figuren over viser fire kurver som spissen av D(x, t) vil tegne ved x = 0 for følgende fire harmoniske bølger:

D(x, t) = D_{0} sin(kx − ωt)ŷ + D_{0} sin(kx − ωt + π)ẑ  (1)
D(x, t) = D_{0} sin(kx − ωt)ŷ + 2D_{0} cos(kx − ωt)ẑ  (2)
D(x, t) = D_{0} sin(kx − ωt)ŷ + D_{0} cos(kx − ωt)ẑ  (3)
D(x, t) = D_{0} sin(kx − ωt)ŷ + 2D_{0} sin(kx − ωt)ẑ  (4)

Hvilke figurer hører sammen med hvilke D(0, t)?

A (a og 3), (b og 4), (c og 1), (d og 2)
B (a og 4), (b og 1), (c og 3), (d og 2)
C (a og 2), (b og 3), (c og 1), (d og 4)
D (a og 1), (b og 2), (c og 3), (d og 4)

11) Ved adiabatiske forhold har vi pV^{γ} = konstant. Her er p trykket, V er volumet, mens γ er adiabatkonstanten. Hva blir sammenhengen mellom trykk og temperatur ved adiabatiske forhold? (Anta ideell gass.)

A p^{γ−1} T^{−γ} = konstant
B p T = konstant
C p^{γ} T = konstant
D p T^{γ−1} = konstant

12) Kravet om energibevarelse medfører at amplituden til trykkvariasjonsbølgen for en kulebølge avtar med avstanden r fra symmetrisenteret som (Δp)_{0}(r) ∼ r^{−n} med

\begin{matrix}A & n = 1/2 \\ B & n = −1/2 \\ C & n = 1 \\ D & n = −1 \end{matrix}

13) En bølgepakke på en streng kom inn fra venstre og ble delvis reflektert og delvis transmittert i en skjøt litt til venstre for x = 0. Figuren over viser den reflekterte og den transmitterte bølgepakken. Omtrent hvor stor andel av den innkommende bølgepakkens energi ble reflektert?

A Ca 6 %
B Ca 11 %
C Ca 16 %
D Ca 21 %

14) Et tynt, luftfylt rør er lukket i den ene og åpent i den andre enden. Røret er 3 m langt. Anslå frekvensen til grunntonen i røret en kald vinterdag på Røros. Du kan anta at luft består av 4/5 nitrogen (N_{2}) og 1/5 oksygen (O_{2}), med molekylmasser henholdsvis 28 og 32 ganger protonmassen.

A 26 Hz
B 39 Hz
C 64 Hz
D 113 Hz

15) En ambulansesirene genererer en harmonisk lydbølge med frekvens 850 Hz. En sterk vind blåser i retning fra ambulansen og mot deg, med vindhastighet 25 m/s. Både du og ambulansen står stille. Hvilken frekvens hører du? (Lydhastigheten er 340 m/s.)

A 783 Hz
B 850 Hz
C 917 Hz
D 985 Hz

16) I figuren over angir sirklene (kule-)bølgefronter generert ved at flyet (F) komprimerer lufta i forkant. Bruk figuren til å bestemme flyets hastighet, målt i enheter av lydhastigheten.

A 1.3
B 2.0
C 2.9
D 4.1

17) En bølgepakke ute på havet har (hovedsaklig) bølgelengde 20 m. Bølgepakken beveger seg rett mot kysten som ligger 5 km unna. Hvor lang tid tar det før bølgepakken når land? Du kan anta at vi hele tiden er på dypt vann. Dispersjonsrelasjonen for dypvannsbølger er ω(k) = \sqrt{gk + γk^{3}/ρ}, med g = 9.8 m/s^{2}, γ = 0.073 J/m^{2} og ρ = 1000 kg/m^{3}.

A ca et kvarter
B ca en halvtime
C ca to timer
D ca fire timer

18) Strengt tatt er transversale bølger på en streng ikke helt dispersjonsfrie. Anta at vi har en uniform metallstreng med sirkulært tverrsnitt A, massetetthet ρ og elastisk modul (Youngs modul) Y. Dispersjonsrelasjonen er da gitt som

ω = \sqrt{\frac{S}{μ} k^{2} + \frac{Y A^{2}}{4πμ} k^{4}}

der S er strekket i strengen og μ = ρA er strengens masse pr lengdeenhet. For korte bølgelengder blir dermed fasehastigheten v og gruppehastigheten v_{g} ikke nøyaktig like store. Hvilken av dem er størst?

A Det kommer an på hva bølgelengden er.
B Det kan ikke avgjøres ut fra den oppgitte dispersjonsrelasjonen.
C Fasehastigheten.
D Gruppehastigheten.

19) Karbondioksyd, CO_{2}, er et lineært molekyl, som vist i figuren over. Vi antar at kreftene mellom karbon og oksygen kan beskrives ved hjelp av ideelle fjærer med fjærkonstant k. Atomene kan svinge harmonisk omkring sine likevektsposisjoner i fire såkalte ”normale moder”. En av disse normale modene er antydet i figuren. Her svinger oksygenatomene (masse M) i samme retning (med lik amplitude), mens karbonatomet (masse m) svinger motsatt vei. Molekylets massemiddelpunkt ligger hele tiden i ro. Hva er vinkelfrekvensen ω til denne vibrasjonsbevegelsen?

A \sqrt{k(m − 2M)/mM}  B \sqrt{k(m + 2M)/mM}  C \sqrt{k/(2M + m)}  D \sqrt{k/(2M − m)}

20) Figuren til høyre viser dispersjonsrelasjonen ω(k) = \sqrt{gk tanh(kD)} for tyngdebølger på to ulike dyp, D = 0.5 m (heltrukken linje) og D = 5.0 m (stiplet linje). Hvilken av påstandene om fasehastighet v og gruppehastighet v_{g} til venstre er riktig?

A For bølgetall større enn ca 5 m^{−1} er

v og v_{g} omtrent like store.

B v og v_{g} varierer i sterkere grad med dybden

for korte enn for lange bølgelengder.

C Når bølgelengden er mye større enn

dybden, blir v og v_{g} omtrent like store.

D Når bølgelengden er mye større enn

dybden, blir v og v_{g} uavhengige av dybden.

Institutt for fysikk, NTNU

FY1002/TFY4160 Bølgefysikk

Midtsemesterprøve fredag 15. oktober 2010 kl 08.15 – 09.45

Emnekode: Kandidatnummer:

Oppgave  A  B  C  D  Oppgave  A  B  C  D
1  11
2  12
3  13
4  14
5  15
6  16
7  17
8  18
9  19
10  20

NB: Kontroller at du har satt ETT kryss for hver av de 20 oppgavene, og at du har skrevet på riktig

emnekode og kandidatnummer.

Versjon 1